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수학교실

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학습 팁

차근차근 단계별로
따라하면 쉬워져요!

학습 진도25%

4단원: 유리수

1. 양수와 음수

여러분, 지금까지는 1, 2, 3... 같은 자연수와 0만 배웠죠? 하지만 실생활에서는 0보다 작은 수도 필요해요! 🌡️

예를 들어, 겨울에 기온이 영하 5도라고 하면 어떻게 표현할까요? 바로 -5°C로 나타내죠!

📈 양수의 예

  • 🌡️ 기온: 영상 25도 → +25°C
  • 🏔️ 높이: 해수면 위 100m → +100m
  • 💰 돈: 1만원 있음 → +10,000원
  • ⏰ 시간: 3시간 후 → +3시간

📉 음수의 예

  • 🌡️ 기온: 영하 10도 → -10°C
  • 🏔️ 높이: 해수면 아래 50m → -50m
  • 💸 돈: 5천원 빚 → -5,000원
  • ⏰ 시간: 2시간 전 → -2시간

🔤 수의 표현 방법

양수

+5 또는 5
+12.5 또는 12.5
+1/2 또는 1/2

양수는 + 기호 생략 가능

음수

-3
-7.8
-2/3

음수는 - 기호 필수

0

0

양수도 음수도 아님

💡 생각해보기

우리 주변에서 음수가 사용되는 예를 더 찾아보세요! 엘리베이터의 지하층, 통장 잔고, 골프 스코어 등에서도 음수를 볼 수 있어요. 양수와 음수는 서로 반대되는 두 상태를 나타내는 매우 유용한 도구랍니다! 🔍

2. 유리수와 수직선

📚 유리수(Rational Number)의 뜻풀이

Rational

라틴어 "ratio"(비율)에서 유래

Ratio

"비율, 비례"를 의미

즉, "비율로 표현할 수 있는 수"라는 뜻

유리수는 정수와 분수를 모두 포함하는 수예요. 다시 말해, a/b (b≠0) 형태로 나타낼 수 있는 모든 수를 말합니다! 📊

양수, 음수, 0을 모두 합쳐서 유리수라고 부르죠.

🔢 정수

  • ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

양의 정수, 0, 음의 정수

🔢 분수

  • 1/2, -3/4, 2/5, -7/3, ...

분자/분모 (분모≠0)

🔢 소수

  • 0.5, -1.25, 3.14, -0.7, ...

유한소수, 순환소수

📏 수직선에 유리수 나타내기

-3-2-10123-1/21/21.5-1.5음수양수

수직선의 특징

  • 0을 기준으로 오른쪽은 양수
  • 0을 기준으로 왼쪽은 음수
  • 오른쪽으로 갈수록 수가 커짐
  • 모든 유리수를 나타낼 수 있음

점과 수의 대응

  • 수직선 위의 한 점 ↔ 하나의 유리수
  • 모든 유리수는 수직선 위의 점으로 나타낼 수 있음
  • 분수도 수직선 위에 정확히 위치함
  • 소수도 수직선 위에 나타낼 수 있음

📝 예제: 수직선에 수 나타내기

다음 수들을 수직선에 나타내보세요

-2.5, 0, 1/3, 2, -1

풀이

  • -2.5: -3과 -2 사이
  • -1: -1 위치
  • 0: 원점
  • 1/3: 0과 1 사이
  • 2: 2 위치

3. 절댓값과 대소관계

절댓값은 수직선에서 0까지의 거리를 나타내요. 거리는 항상 0 이상이므로 절댓값은 항상 0 이상의 값을 가집니다! 📏

절댓값은 |a|로 표현하며, "a의 절댓값"이라고 읽어요.

✅ 절댓값의 예

  • |3| =3
  • |-5| =5
  • |0| =0
  • |-2.5| =2.5

📐 절댓값의 의미

거리의 개념

3과 -3은 모두 0으로부터 3만큼 떨어져 있음

크기의 개념

부호를 무시한 수의 크기

항상 음이 아님

절댓값은 0 이상의 값

📊 수직선에서 절댓값 이해하기

-303거리 3거리 3

|-3| = 3, |3| = 3 (둘 다 0으로부터 거리 3)

📏 대소관계

수직선에서 오른쪽에 있는 수가 더 큰 수예요!

대소관계 기호

  • > : ~보다 크다
  • < : ~보다 작다
  • ≥ : ~보다 크거나 같다
  • ≤ : ~보다 작거나 같다

예시

  • 3 > -2
  • -1 > -5
  • 0 > -10
  • -2 < 1

📝 예제 1: 절댓값 구하기

|7| = ?
답: 7
|-12| = ?
답: 12
|0| = ?
답: 0
|-3.5| = ?
답: 3.5

📝 예제 2: 대소관계 비교하기

다음 수를 작은 순서대로 나열하세요: 3, -5, 0, -1, 2

수직선에 나타내면: -5, -1, 0, 2, 3
답: -5 < -1 < 0 < 2 < 3

|-4|와 |3| 중 어느 것이 더 클까요?

|-4| = 4, |3| = 3
답: |-4| > |3| (4 > 3)

💡 중요한 포인트

  • 절댓값: 부호를 무시한 수의 크기 (항상 0 이상)
  • 대소관계: 수직선에서 오른쪽이 더 큰 수
  • 음수끼리 비교: 절댓값이 작은 수가 더 큰 수
  • 모든 양수 > 0 > 모든 음수

4. 유리수의 덧셈

유리수의 덧셈은 부호에 따라 계산 방법이 달라져요. 하지만 규칙을 익히면 쉽게 할 수 있답니다! ➕

📐 같은 부호끼리 더하기

절댓값을 더하고, 공통 부호를 붙입니다

양수 + 양수

(+3) + (+5) = +8
(+2.5) + (+1.5) = +4
7 + 12 = 19

음수 + 음수

(-4) + (-6) = -10
(-1.5) + (-2.5) = -4
(-8) + (-3) = -11

📐 다른 부호끼리 더하기

절댓값을 빼고, 절댓값이 큰 수의 부호를 붙입니다

양수 + 음수

(+5) + (-3) = +2
|5| - |3| = 2, 부호는 +
(+2) + (-7) = -5
|7| - |2| = 5, 부호는 -

음수 + 양수

(-4) + (+6) = +2
|6| - |4| = 2, 부호는 +
(-8) + (+3) = -5
|8| - |3| = 5, 부호는 -

📝 단계별 예제

예제 1: (-7) + (-3)

1
같은 부호(음수끼리)임을 확인
2
절댓값을 더하기: |7| + |3| = 10
3
공통 부호 붙이기: -10

예제 2: (+8) + (-5)

1
다른 부호임을 확인
2
절댓값 비교: |8| > |5|
3
절댓값을 빼기: 8 - 5 = 3
4
절댓값이 큰 수의 부호: +3

예제 3: (-6) + (+6)

1
다른 부호, 절댓값이 같음
2
절댓값을 빼기: 6 - 6 = 0
3
답: 0

🔢 분수의 덧셈

같은 분모

2/5 + 1/5 = 3/5
(-3/7) + (-2/7) = -5/7
4/9 + (-1/9) = 3/9 = 1/3

다른 분모

1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6
(-2/3) + 1/4 = (-8/12) + 3/12 = -5/12

📋 덧셈 규칙 정리

같은 부호

  • 절댓값을 더한다
  • 공통 부호를 붙인다
  • (+) + (+) = (+)
  • (-) + (-) = (-)

다른 부호

  • 절댓값을 뺀다
  • 절댓값이 큰 수의 부호
  • (+) + (-) = (큰 쪽 부호)
  • (-) + (+) = (큰 쪽 부호)

5. 유리수의 뺄셈

유리수의 뺄셈은 덧셈으로 바꿔서 계산해요! "빼기는 더하기의 반대를 더하는 것"이라고 기억하세요! ➖➡️➕

🔄 뺄셈의 핵심 규칙

a - b = a + (-b)

"a에서 b를 빼는 것 = a에 b의 반대를 더하는 것"

📝 단계별 뺄셈 방법

예제 1: (+5) - (+3)

1
(+5) - (+3)
주어진 식
2
(+5) + (-3)
뺄셈을 덧셈으로 변환
3
+2
답!

예제 2: (-8) - (-3)

1
(-8) - (-3)
주어진 식
2
(-8) + (+3)
뺄셈을 덧셈으로 변환
3
-5
답!

예제 3: (+2) - (-7)

1
(+2) - (-7)
주어진 식
2
(+2) + (+7)
뺄셈을 덧셈으로 변환
3
+9
답!

🔄 부호 변화 규칙

양수를 뺄 때

- (+a) → + (-a)
예: - (+5) → + (-5)
예: - (+3) → + (-3)

음수를 뺄 때

- (-a) → + (+a)
예: - (-4) → + (+4)
예: - (-7) → + (+7)

📊 다양한 뺄셈 예제

9 - 4 = ?
= 9 + (-4) = 5
3 - 8 = ?
= 3 + (-8) = -5
(-5) - 2 = ?
= (-5) + (-2) = -7
(-6) - (-4) = ?
= (-6) + (+4) = -2
0 - (-3) = ?
= 0 + (+3) = 3
(-7) - (-7) = ?
= (-7) + (+7) = 0

🔢 분수의 뺄셈

예제: 2/3 - 1/4

= 2/3 + (-1/4)
= 8/12 + (-3/12)
= 5/12

예제: (-3/5) - (-2/5)

= (-3/5) + (+2/5)
= -1/5

💡 뺄셈 마스터 팁

  • 핵심: 뺄셈은 항상 덧셈으로 바꿔서 계산
  • 부호 변화: -(+a) = -a, -(-a) = +a
  • 실수 방지: 단계별로 차근차근 진행
  • 검산: 답을 다시 원래 식에 대입해서 확인

6. 유리수의 곱셈

유리수의 곱셈은 부호 규칙만 알면 쉬워져요! 절댓값은 자연수 곱셈과 똑같고, 부호만 신경쓰면 됩니다. 😊

🎯 유리수 곱셈의 부호 규칙

같은 부호끼리

(+) × (+) = (+) 양수 × 양수 = 양수
(-) × (-) = (+) 음수 × 음수 = 양수

다른 부호끼리

(+) × (-) = (-) 양수 × 음수 = 음수
(-) × (+) = (-) 음수 × 양수 = 음수

📝 예제 1: 정수의 곱셈

같은 부호

(+3) × (+4) = +12
(-5) × (-2) = +10
(-7) × (-3) = +21

다른 부호

(+6) × (-2) = -12
(-4) × (+5) = -20
(+8) × (-3) = -24

📝 예제 2: 분수의 곱셈

분수의 곱셈도 부호 규칙은 동일해요! 분자끼리, 분모끼리 곱하면 됩니다.

1
(-2/3) × (+3/4)
부호: (-) × (+) = (-)
절댓값: (2/3) × (3/4) = 6/12 = 1/2
답: -1/2
2
(-3/5) × (-2/7)
부호: (-) × (-) = (+)
절댓값: (3/5) × (2/7) = 6/35
답: +6/35

📝 예제 3: 여러 수의 곱셈

여러 수를 곱할 때는 음수의 개수를 세어보세요!

1
(-2) × (+3) × (-4)
음수의 개수: 2개 (짝수) → 결과는 양수
절댓값: 2 × 3 × 4 = 24
답: +24
2
(-1) × (-2) × (-3) × (+4)
음수의 개수: 3개 (홀수) → 결과는 음수
절댓값: 1 × 2 × 3 × 4 = 24
답: -24

💡 곱셈의 특별한 성질

곱셈의 법칙

  • 교환법칙: a × b = b × a
  • 결합법칙: (a × b) × c = a × (b × c)
  • 분배법칙: a × (b + c) = a × b + a × c

특별한 경우

  • 어떤 수 × 0 = 0
  • 어떤 수 × 1 = 그 수 자신
  • 어떤 수 × (-1) = 그 수의 반대

7. 유리수의 나눗셈

유리수의 나눗셈은 곱셈의 역수를 곱하는 것과 같아요! "나누기는 곱하기의 반대"라고 생각하면 쉬워집니다. 🔄

🔄 나눗셈의 기본 원리

a ÷ b = a × (1/b)
어떤 수로 나누는 것 = 그 수의 역수를 곱하는 것

📝 예제 1: 정수의 나눗셈

1
(+12) ÷ (-3)
= (+12) × (-1/3)
부호: (+) × (-) = (-)
절댓값: 12 × (1/3) = 4
답: -4
2
(-15) ÷ (-5)
= (-15) × (-1/5)
부호: (-) × (-) = (+)
절댓값: 15 × (1/5) = 3
답: +3

📝 예제 2: 분수의 나눗셈

분수로 나누기는 그 분수를 뒤집어서 곱하면 돼요!

1
(-2/3) ÷ (+1/4)
= (-2/3) × (+4/1)
= (-2/3) × (+4)
부호: (-) × (+) = (-)
절댓값: (2/3) × 4 = 8/3
답: -8/3
2
(+3/4) ÷ (-2/5)
= (+3/4) × (-5/2)
부호: (+) × (-) = (-)
절댓값: (3/4) × (5/2) = 15/8
답: -15/8

📝 예제 3: 혼합 계산

1
(-6) ÷ (+2) ÷ (-3)
= (-6) ÷ (+2) ÷ (-3)
= (-3) ÷ (-3)
= (+1)
답: +1

⚠️ 나눗셈에서 주의할 점

절대 금지!

  • 0으로 나누기 - 정의되지 않음
  • 분모가 0인 분수 만들기
  • 부호 규칙 잊어버리기

기억하세요!

  • 나눗셈 = 역수의 곱셈
  • 부호 규칙은 곱셈과 동일
  • 계산 후 약분 확인

8. 유리수의 혼합 계산

이제 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 모두 섞인 문제를 풀어볼까요? 연산 순서만 정확히 지키면 됩니다! 🎯

📋 연산 순서 (우선순위)

1괄호 ( ) 안의 계산
2곱셈(×)과 나눗셈(÷) - 왼쪽부터
3덧셈(+)과 뺄셈(-) - 왼쪽부터

📝 예제 1: 사칙연산 혼합

(-2) + (+3) × (-4) - (+5)
1
먼저 곱셈을 계산: (+3) × (-4) = -12
2
(-2) + (-12) - (+5)
3
왼쪽부터 계산: (-2) + (-12) = -14
4
마지막: (-14) - (+5) = -14 - 5 = -19
답: -19

📝 예제 2: 괄호가 있는 계산

(-6) ÷ (+2) - (-3) × (+4)
1
나눗셈과 곱셈을 먼저 계산
2
(-6) ÷ (+2) = -3
3
(-3) × (+4) = -12
4
(-3) - (-12) = (-3) + (+12) = +9
답: +9

📝 예제 3: 분수가 포함된 복합 계산

(1/2) × (-4) + (-3/4) ÷ (+1/2)
1
곱셈과 나눗셈을 먼저 계산
2
(1/2) × (-4) = -2
3
(-3/4) ÷ (+1/2) = (-3/4) × (+2) = -3/2
4
(-2) + (-3/2) = (-4/2) + (-3/2) = -7/2
답: -7/2

💡 혼합 계산 팁

계산 전 체크리스트

  • 연산 순서 확인
  • 괄호 위치 파악
  • 부호 확인
  • 분수는 통분 준비

실수 방지법

  • 한 단계씩 차근차근
  • 중간 과정 모두 기록
  • 부호 변화 항상 확인
  • 최종 답 검토

9. 실생활 활용

유리수는 우리 생활 곳곳에 숨어있어요! 온도, 성적, 수익과 손실 등에서 음수와 양수를 모두 만날 수 있답니다. 🌡️📊💰

🌡️ 온도와 기후

문제 1: 기온 변화

어제 기온이 -5℃였는데, 오늘은 3℃ 올랐습니다. 오늘의 기온은?

(-5) + (+3) = -2℃

문제 2: 평균 기온

5일간의 기온이 2℃, -1℃, -3℃, 1℃, -4℃였습니다. 평균 기온은?

(2-1-3+1-4) ÷ 5 = -1℃

💰 수익과 손실

문제 3: 게임 점수

철수가 게임에서 50점을 얻었다가 30점을 잃고, 다시 20점을 얻었습니다. 최종 점수는?

(+50) + (-30) + (+20) = +40점

문제 4: 용돈 관리

영희가 용돈 20,000원을 받고, 과자에 3,000원, 문구류에 5,000원을 썼습니다. 남은 돈은?

(+20,000) + (-3,000) + (-5,000) = +12,000원

📊 성적과 변화

문제 5: 성적 변화

수학 점수가 80점에서 5점 올랐다가 3점 떨어졌습니다. 최종 점수는?

80 + (+5) + (-3) = 82점

문제 6: 반 평균과의 차이

반 평균이 75점일 때, 내 점수 82점은 평균보다 몇 점 높은가요?

82 - 75 = +7점 (평균보다 7점 높음)

🏢 높이와 깊이

문제 7: 엘리베이터

지하 2층에서 시작해서 위로 7층 올라간 후, 다시 아래로 3층 내려갔습니다. 현재 층은?

(-2) + (+7) + (-3) = +2층

문제 8: 해수면 기준

해수면을 0m로 할 때, 에베레스트산(8,848m)과 사해(-400m)의 높이 차이는?

(+8,848) - (-400) = 9,248m

⏰ 시간과 방향

문제 9: 시간대 차이

한국이 오후 3시일 때, 런던은 9시간 늦습니다. 런던의 현재 시각은?

15 + (-9) = 오전 6시

문제 10: 이동 거리

동쪽을 +, 서쪽을 -로 할 때, 동쪽으로 5km 간 후 서쪽으로 3km 가면 출발점에서 어디에?

(+5) + (-3) = +2km (동쪽으로 2km 지점)

🌟 유리수 활용의 핵심

유리수는 단순한 숫자가 아니라 우리 생활을 정확하게 표현하는 도구예요! 양수와 음수를 통해 증가와 감소, 이익과 손실, 위와 아래 등 반대되는 상황을 명확하게 나타낼 수 있답니다. 유리수를 잘 이해하면 세상을 더 정확하고 논리적으로 바라볼 수 있는 수학적 사고력을 기를 수 있어요! 🧠✨

🎓 축하합니다!

여러분은 이제 유리수의 달인이 되었어요! 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈은 물론 복잡한 혼합 계산까지 모두 마스터했습니다. 이제 어떤 유리수 문제가 나와도 자신 있게 해결할 수 있을 거예요. 계속해서 연습하며 더 높은 수학의 세계로 나아가세요! 파이팅! 💪🎉