방정식과 부등식
고등학교 1학년 수학의 핵심! 미지수를 찾아가는 흥미진진한 여행을 시작해봅시다! 🕵️♂️
📚 학습 목표
- ✓방정식의 기본 개념과 풀이법 이해
- ✓연립방정식의 다양한 해법 습득
- ✓부등식의 성질과 해법 이해
- ✓절댓값을 포함한 방정식과 부등식
- ✓실생활 문제를 방정식으로 해결
- ✓수학적 사고력 향상
📖 목차
일차방정식의 복습과 확장
🔄 중학교 때 배운 것을 다시 한번!
안녕하세요! 고등학교에 오신 것을 축하해요! 🎉 먼저 중학교 때 배운 일차방정식을 복습하면서 시작해볼까요? "아, 이거 쉬운데?"라고 생각할 수도 있지만, 고등학교에서는 좀 더 복잡하고 실용적인 문제들을 다루게 될 거예요!
📚 일차방정식이란?
정의
미지수의 최고차수가 1인 방정식을 일차방정식이라고 해요.
일반형
ax + b = 0 (a ≠ 0)
예시
🔧 풀이 과정 단계별 정리
예제: 3(x - 2) + 5 = 2x + 7
1단계: 괄호 풀기
3x - 6 + 5 = 2x + 7
3x - 1 = 2x + 7
2단계: 이항하기 (같은 종류끼리 모으기)
3x - 2x = 7 + 1
x = 8
3단계: 검산하기
x = 8을 원래 식에 대입해보면...
좌변: 3(8-2) + 5 = 3×6 + 5 = 23
우변: 2×8 + 7 = 16 + 7 = 23
✓ 맞아요!
🌟 조금 더 복잡한 일차방정식
분수가 포함된 방정식
x/2 + x/3 = 5
풀이:
1. 양변에 6을 곱해요 (2와 3의 최소공배수)
3x + 2x = 30
5x = 30
x = 6
소수가 포함된 방정식
0.3x + 0.5 = 0.2x + 0.8
풀이:
1. 양변에 10을 곱해요 (소수를 정수로)
3x + 5 = 2x + 8
3x - 2x = 8 - 5
x = 3
연립방정식
🤝 두 개의 미지수, 두 개의 방정식!
이제 미지수가 두 개인 상황을 만나볼 거예요! x와 y 둘 다 모르는 상황이죠. 하지만 걱정하지 마세요. 방정식도 두 개가 있으니까 충분히 해결할 수 있어요! 마치 퍼즐을 맞추는 것처럼 재미있답니다! 🧩
📖 연립방정식이란?
미지수가 2개 이상이고, 방정식이 2개 이상인 방정식의 집합을 연립방정식이라고 해요.
일반형 (이원일차연립방정식)
ax + by = c
dx + ey = f
(a, b, c, d, e, f는 상수이고, a, b가 동시에 0이 아니고, d, e가 동시에 0이 아님)
🔄 대입법 (치환법)
예제: 대입법으로 풀어보기
x + 2y = 7 ... ①
3x - y = 1 ... ②
1단계: ①에서 x를 y로 나타내기
x = 7 - 2y ... ③
2단계: ③을 ②에 대입하기
3(7 - 2y) - y = 1
21 - 6y - y = 1
21 - 7y = 1
-7y = -20
y = 20/7
3단계: y값을 ③에 대입해서 x구하기
x = 7 - 2(20/7) = 7 - 40/7 = 49/7 - 40/7 = 9/7
답: x = 9/7, y = 20/7
➕➖ 가감법 (소거법)
예제: 가감법으로 풀어보기
2x + 3y = 8 ... ①
5x - 3y = 6 ... ②
1단계: y의 계수가 반대부호이므로 두 식을 더하기
① + ②: (2x + 3y) + (5x - 3y) = 8 + 6
7x = 14
x = 2
2단계: x = 2를 ①에 대입하기
2(2) + 3y = 8
4 + 3y = 8
3y = 4
y = 4/3
답: x = 2, y = 4/3
🎯 계수를 맞춰서 가감법
예제: 계수가 바로 소거되지 않는 경우
3x + 2y = 12 ... ①
2x + 5y = 11 ... ②
1단계: x의 계수를 맞추기 위해 ①×2, ②×3
6x + 4y = 24 ... ③
6x + 15y = 33 ... ④
2단계: ④ - ③ 계산하기
(6x + 15y) - (6x + 4y) = 33 - 24
11y = 9
y = 9/11
3단계: y값을 ①에 대입하기
3x + 2(9/11) = 12
3x = 12 - 18/11 = 132/11 - 18/11 = 114/11
x = 38/11
답: x = 38/11, y = 9/11
이차방정식의 기초
🌟 이제 제곱이 나타나요!
이차방정식은 고등학교 수학의 꽃이라고 할 수 있어요! x²이 등장하면서 훨씬 다양하고 흥미로운 문제들을 만날 수 있답니다. 처음에는 조금 어려울 수 있지만, 차근차근 따라오시면 분명 재미있을 거예요! 🚀
📚 이차방정식이란?
미지수의 최고차수가 2인 방정식을 이차방정식이라고 해요.
일반형
ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
• a: 이차항의 계수
• b: 일차항의 계수
• c: 상수항
예시 1
x² - 5x + 6 = 0
a=1, b=-5, c=6
예시 2
2x² + 3x - 1 = 0
a=2, b=3, c=-1
예시 3
x² - 4 = 0
a=1, b=0, c=-4
🔍 인수분해를 이용한 해법
예제: x² - 5x + 6 = 0
1단계: 인수분해하기
어떤 두 수를 곱하면 6이 되고, 더하면 5가 될까요?
2와 3이네요! (2 × 3 = 6, 2 + 3 = 5)
x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0
2단계: 각 인수가 0이 되는 경우 구하기
x - 2 = 0 또는 x - 3 = 0
x = 2 또는 x = 3
답: x = 2, x = 3
🎯 근의 공식
인수분해가 어려울 때는 근의 공식을 사용해요! 모든 이차방정식에 적용할 수 있는 만능 공식이랍니다.
근의 공식
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
예제: 2x² + 3x - 1 = 0
a = 2, b = 3, c = -1
x = (-3 ± √(3² - 4×2×(-1))) / (2×2)
x = (-3 ± √(9 + 8)) / 4
x = (-3 ± √17) / 4
답: x = (-3 + √17)/4, x = (-3 - √17)/4
부등식의 기본
⚖️ 등호가 아닌 부등호!
지금까지는 "같다(=)"라는 등호만 다뤘는데, 이제는 "크다(>)", "작다(<)" 같은 부등호를 다뤄볼 거예요! 실생활에서는 정확히 같은 경우보다는 "이상", "이하", "초과", "미만" 같은 범위를 다루는 경우가 더 많답니다! 📊
📏 부등식의 기본 성질
부등호의 종류
부등식의 성질
성질 1: 같은 수를 더하거나 뺄 때
a > b ⟹ a + c > b + c
성질 2: 양수를 곱하거나 나눌 때
a > b, c > 0 ⟹ ac > bc
성질 3: 음수를 곱하거나 나눌 때
a > b, c < 0 ⟹ ac < bc
⚠️ 부등호 방향이 바뀌어요!
🔧 일차부등식 풀이
예제 1: 3x + 5 > 2x + 8
풀이:
3x - 2x > 8 - 5
x > 3
수직선 위에 나타내면:
예제 2: -2x + 3 ≤ 7
풀이:
-2x ≤ 7 - 3
-2x ≤ 4
x ≥ -2 (양변을 -2로 나누면 부등호 방향 바뀜)
수직선 위에 나타내면:
📐 절댓값이 있는 간단한 부등식
|x| < a (a > 0) 꼴
-a < x < a
예: |x| < 3 → -3 < x < 3
|x| > a (a > 0) 꼴
x < -a 또는 x > a
예: |x| > 3 → x < -3 또는 x > 3
연립부등식
🔗 여러 조건을 동시에 만족!
연립부등식은 여러 개의 부등식을 동시에 만족하는 해를 구하는 것이에요! 예를 들어, "3보다 크면서 동시에 7보다 작은 수"를 찾는 것과 같답니다. 일상에서도 "나이는 18세 이상이면서 동시에 65세 미만"처럼 자주 사용하는 조건이에요! 🎯
🎲 연립부등식 풀이 과정
예제: 다음 연립부등식을 풀어보세요
2x + 3 > x + 5 ... ①
3x - 1 ≤ x + 7 ... ②
1단계: ①을 풀기
2x + 3 > x + 5
2x - x > 5 - 3
x > 2
2단계: ②를 풀기
3x - 1 ≤ x + 7
3x - x ≤ 7 + 1
2x ≤ 8
x ≤ 4
3단계: 공통 해 구하기
①에서 x > 2, ②에서 x ≤ 4
∴ 2 < x ≤ 4
수직선으로 나타내기
🚨 특별한 경우들
해가 없는 경우
x > 5 그리고 x < 2
분석:
5보다 크면서 동시에 2보다 작은 수는 존재하지 않아요!
∴ 해가 없음 (공집합)
모든 실수가 해인 경우
x > 2 그리고 x < 5
분석:
2보다 크면서 동시에 5보다 작은 수는 무수히 많아요!
∴ 2 < x < 5
절댓값 방정식과 부등식
📏 절댓값의 의미를 다시 생각해보자!
절댓값은 "0으로부터의 거리"를 의미해요! |3| = 3, |-3| = 3처럼 말이죠. 그런데 만약 |x| = 5라면? x = 5 또는 x = -5 두 가지 경우가 있겠죠? 이런 특성 때문에 절댓값이 포함된 방정식과 부등식은 조금 특별하게 다뤄야 해요! 🔍
📚 절댓값의 기본 성질
기본 정의
|a| = a (a ≥ 0일 때)
|a| = -a (a < 0일 때)
기하학적 의미
|a|는 수직선에서 0으로부터 a까지의 거리
⚖️ 절댓값 방정식
기본형: |x| = a (a ≥ 0)
x = a 또는 x = -a
예제: |x| = 7
x = 7 또는 x = -7
응용형: |ax + b| = c (c ≥ 0)
ax + b = c 또는 ax + b = -c
예제: |2x - 3| = 5
2x - 3 = 5 또는 2x - 3 = -5
2x = 8 또는 2x = -2
x = 4 또는 x = -1
📊 절댓값 부등식
|x| < a 형태 (a > 0)
-a < x < a
예제: |x - 2| < 3
-3 < x - 2 < 3
-3 + 2 < x < 3 + 2
-1 < x < 5
|x| > a 형태 (a > 0)
x < -a 또는 x > a
예제: |x + 1| > 2
x + 1 < -2 또는 x + 1 > 2
x < -3 또는 x > 1
🎯 조금 더 복잡한 절댓값 문제
예제: |2x - 4| ≤ 6을 풀어보세요
1단계: 절댓값 부등식의 성질 적용
|2x - 4| ≤ 6
-6 ≤ 2x - 4 ≤ 6
2단계: 각 부분에 4를 더하기
-6 + 4 ≤ 2x ≤ 6 + 4
-2 ≤ 2x ≤ 10
3단계: 각 부분을 2로 나누기
-1 ≤ x ≤ 5
수직선으로 확인
실생활 응용 문제
🌟 수학이 실제로 어디에 쓰일까요?
"선생님, 방정식을 언제 써요?"라고 묻는 학생들이 정말 많아요! 사실 방정식과 부등식은 우리 생활 곳곳에 숨어있답니다. 쇼핑할 때 할인가 계산부터, 여행 계획, 사업 계획까지! 함께 흥미로운 실생활 문제들을 풀어볼까요? 🚀
💰 경제와 쇼핑
🛍️ 할인과 세일
문제:
어떤 옷의 정가가 x원입니다. 30% 할인한 가격이 35,000원일 때, 정가는 얼마일까요?
풀이 과정 보기
1단계: 30% 할인하면 70%만 지불
x × 0.7 = 35,000
2단계: 양변을 0.7로 나누기
x = 35,000 ÷ 0.7 = 50,000
답: 정가는 50,000원
📱 휴대폰 요금제
문제:
A 요금제: 기본료 30,000원 + 통화료 분당 100원
B 요금제: 기본료 50,000원 + 통화료 분당 50원
몇 분 이상 통화하면 B 요금제가 더 유리할까요?
풀이 과정 보기
1단계: 통화시간을 x분이라 하고 각 요금제 비용 구하기
A 요금제: 30,000 + 100x (원)
B 요금제: 50,000 + 50x (원)
2단계: B가 A보다 저렴한 조건
50,000 + 50x < 30,000 + 100x
3단계: 부등식 풀기
50,000 - 30,000 < 100x - 50x
20,000 < 50x
x > 400
답: 400분(6시간 40분) 이상 통화하면 B 요금제가 유리
🚗 시간과 거리
🏃♂️ 만나는 문제
문제:
A와 B가 1200m 떨어진 지점에서 동시에 출발하여 서로를 향해 걸어갑니다.
A의 속력은 분속 60m, B의 속력은 분속 40m입니다. 몇 분 후에 만날까요?
풀이 과정 보기
1단계: x분 후에 만난다고 가정
2단계: x분 동안 각자가 간 거리
A가 간 거리: 60x (m)
B가 간 거리: 40x (m)
3단계: 두 거리의 합이 전체 거리
60x + 40x = 1200
100x = 1200
x = 12
답: 12분 후에 만남
🚌 추격 문제
문제:
형이 집에서 학교까지 자전거로 분속 200m로 가고 있습니다.
10분 후 동생이 같은 길로 분속 300m로 따라갔습니다.
동생이 형을 따라잡는 데 몇 분이 걸릴까요?
풀이 과정 보기
1단계: 동생이 x분 동안 갔다고 가정
2단계: 형은 총 (x + 10)분 동안 감
형이 간 거리: 200(x + 10) (m)
동생이 간 거리: 300x (m)
3단계: 따라잡는 순간 거리가 같음
200(x + 10) = 300x
200x + 2000 = 300x
2000 = 100x
x = 20
답: 동생이 20분 만에 형을 따라잡음
🧪 농도와 혼합
🥤 음료 혼합 문제
문제:
설탕물 A는 10% 설탕물 300g이고, 설탕물 B는 25% 설탕물입니다.
A와 B를 섞어서 20% 설탕물을 만들려면 B를 몇 g 넣어야 할까요?
풀이 과정 보기
1단계: B를 x(g) 넣는다고 가정
2단계: 각각의 설탕 양 계산
A의 설탕: 300 × 0.1 = 30(g)
B의 설탕: x × 0.25 = 0.25x(g)
3단계: 혼합 후 조건
전체 설탕물: (300 + x)g
전체 설탕: (30 + 0.25x)g
농도가 20%이므로: (30 + 0.25x)/(300 + x) = 0.2
4단계: 방정식 풀기
30 + 0.25x = 0.2(300 + x)
30 + 0.25x = 60 + 0.2x
0.05x = 30
x = 600
답: B를 600g 넣어야 함
종합 문제 풀이
💪 실력 종합 점검!
지금까지 배운 모든 내용을 종합해서 문제를 풀어볼 시간이에요! 방정식부터 부등식, 연립방정식, 절댓값까지 모든 것이 연결되어 있다는 걸 느낄 수 있을 거예요. 천천히 차근차근 풀어보세요! 🎯
📝 기본 종합 문제
문제 1: 연립방정식 + 실생활
문제:
사과 3개와 바나나 2개의 가격이 2,500원이고,
사과 2개와 바나나 3개의 가격이 2,000원입니다.
사과 1개와 바나나 1개의 가격은 각각 얼마일까요?
풀이 과정 보기
1단계: 미지수 설정
사과 1개의 가격을 x원, 바나나 1개의 가격을 y원이라 하자.
2단계: 연립방정식 세우기
3x + 2y = 2500 ... ①
2x + 3y = 2000 ... ②
3단계: 가감법으로 풀기
①×3: 9x + 6y = 7500 ... ③
②×2: 4x + 6y = 4000 ... ④
③-④: 5x = 3500, x = 700
4단계: y값 구하기
①에 x = 700 대입: 3(700) + 2y = 2500
2100 + 2y = 2500, 2y = 400, y = 200
답: 사과 700원, 바나나 200원
문제 2: 이차방정식 + 기하
문제:
한 변의 길이가 x cm인 정사각형에서 가로는 3cm 늘리고 세로는 2cm 줄였더니
넓이가 원래 정사각형의 넓이와 같아졌습니다. x의 값을 구하세요.
풀이 과정 보기
1단계: 조건 정리
원래 정사각형 넓이: x²
변화된 직사각형 넓이: (x + 3)(x - 2)
2단계: 방정식 세우기
(x + 3)(x - 2) = x²
3단계: 전개하고 정리
x² - 2x + 3x - 6 = x²
x - 6 = 0
x = 6
답: x = 6cm
🚀 응용 종합 문제
문제 3: 부등식 + 절댓값 + 실생활
문제:
어떤 공장에서 생산하는 부품의 길이는 10cm를 목표로 하고 있습니다.
하지만 실제 길이 x(cm)는 목표치와의 오차가 0.2cm 이내여야 합니다.
또한 생산 비용 관계로 길이가 9.5cm 이상이어야 합니다.
이 조건들을 만족하는 부품 길이의 범위를 구하세요.
풀이 과정 보기
1단계: 조건들을 부등식으로 나타내기
오차 조건: |x - 10| ≤ 0.2
길이 조건: x ≥ 9.5
2단계: 절댓값 부등식 풀기
|x - 10| ≤ 0.2
-0.2 ≤ x - 10 ≤ 0.2
9.8 ≤ x ≤ 10.2
3단계: 연립부등식 풀기
x ≥ 9.5 그리고 9.8 ≤ x ≤ 10.2
9.8 ≤ x ≤ 10.2
답: 9.8cm ≤ x ≤ 10.2cm
🔥 도전 문제
문제 4: 복합 문제
문제:
어떤 수 x에 대하여 다음 조건들이 모두 성립합니다:
① 2x + 3 > x + 1
② |x - 4| < 3
③ x는 자연수
이 조건들을 모두 만족하는 x의 값을 모두 구하세요.
풀이 과정 보기
1단계: 조건 ① 풀기
2x + 3 > x + 1
x > -2
2단계: 조건 ② 풀기
|x - 4| < 3
-3 < x - 4 < 3
1 < x < 7
3단계: 모든 조건 종합
x > -2, 1 < x < 7, x는 자연수
1 < x < 7이고 x는 자연수
4단계: 자연수 조건 적용
답: x = 2, 3, 4, 5, 6
🎉 방정식과 부등식 완전 정복!
와우! 정말 대단해요! 고등학교 수학의 기초인 방정식과 부등식을 완벽하게 마스터했어요!
📚 배운 내용 정리
- ✓일차방정식의 확장과 복습
- ✓연립방정식의 대입법과 가감법
- ✓이차방정식의 기본 해법
- ✓부등식의 성질과 풀이법
- ✓연립부등식과 절댓값
- ✓실생활 응용 문제 해결
🎯 핵심 공식과 방법
💡 문제 해결 단계
문제 파악
주어진 조건을 정확히 이해하기
미지수 설정
구하는 것을 변수로 정하기
식 세우기
조건을 방정식이나 부등식으로
검증하기
답이 조건에 맞는지 확인
정말 대단해요!
고등학교 수학의 가장 중요한 기초인 방정식과 부등식을 완벽하게 마스터했어요! 이제 여러분은 미지수를 찾아내는 탐정이 되었고, 조건을 분석하는 분석가가 되었답니다. 앞으로 만날 함수, 수열, 확률 모든 분야에서 오늘 배운 내용이 기초가 될 거예요!
🏆 획득한 배지
방정식 해결사
모든 종류의 방정식을 척척 해결해요!
부등식 마스터
부등식의 모든 성질을 완벽히 이해해요!
절댓값 전문가
절댓값 문제도 더 이상 어렵지 않아요!
실생활 적용왕
수학을 실생활에 적용하는 능력자예요!
🚀 다음에는 무엇을 배울까요?
함수
일차함수, 이차함수로 그래프의 세계를 탐험해요
도형의 방정식
좌표평면에서 직선과 원의 방정식을 배워요
순열과 조합
경우의 수를 세는 재미있는 방법을 배워요
"방정식은 영혼에게 음악과 같다."
- 플라톤
여러분도 오늘 방정식과 부등식의 아름다운 조화를 느꼈을 거예요! 미지수를 찾아가는 과정이 마치 퍼즐을 맞추는 것처럼 즐겁고 흥미로웠죠? 수학의 논리적 아름다움을 더욱 깊이 탐험해 나가요!
✨ 앞으로의 수학 여행
방정식과 부등식은 고등수학의 든든한 기초가 되어줄 거예요! 앞으로 만날 모든 수학 분야에서 오늘 배운 내용들이 튼튼한 뿌리가 될 것입니다. 함수에서는 방정식으로 그래프를 그리고, 미적분에서는 방정식으로 변화율을 구하고, 확률에서는 부등식으로 범위를 정하게 될 거예요. 정말 기대되지 않나요?