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수학교실

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학습 팁

차근차근 단계별로
따라하면 쉬워져요!

학습 진도25%

3단원: 정수

1. 정수의 개념

안녕하세요, 여러분! 😊 오늘부터 정수에 대해 배워볼 거예요. 지금까지 자연수(1, 2, 3...)만 사용했는데, 실생활에서는 0보다 작은 수도 필요하답니다!

📈 양의 정수 (양수)

+1, +2, +3, +4, ...

또는

1, 2, 3, 4, ...
  • 🌡️ 기온: 영상 25도
  • 🏔️ 높이: 해수면 위 100m
  • 💰 돈: 1만원 있음
  • ⏰ 시간: 3시간 후

📉 음의 정수 (음수)

-1, -2, -3, -4, ...
  • 🌡️ 기온: 영하 10도
  • 🏔️ 높이: 해수면 아래 50m
  • 💸 돈: 5천원 빚
  • ⏰ 시간: 2시간 전

🔤 정수란?

음의 정수

..., -3, -2, -1

0 (영)

0

양수도 음수도 아님

양의 정수

1, 2, 3, ...

💡 정수의 특징

  • 정수 = 양의 정수 + 0 + 음의 정수
  • 자연수는 양의 정수와 같아요
  • 0은 양수도 음수도 아닌 특별한 수예요
  • 양수는 + 기호를 생략할 수 있어요 (3 = +3)
  • 음수는 반드시 - 기호를 써야 해요

2. 정수와 수직선

정수를 수직선 위에 나타내면 더 쉽게 이해할 수 있어요! 수직선은 수의 크기와 위치를 한눈에 볼 수 있는 마법의 도구랍니다. ✨

📏 정수를 수직선에 나타내기

-4-3-2-101234음수양수

🎯 수직선의 규칙

  • 0을 기준으로 오른쪽은 양수
  • 0을 기준으로 왼쪽은 음수
  • 오른쪽으로 갈수록 수가 커져요
  • 인접한 두 정수의 간격은 항상 1이에요

✨ 수직선의 장점

  • 수의 크기를 한눈에 비교 가능
  • 덧셈과 뺄셈을 시각적으로 이해
  • 양수와 음수의 관계를 명확히 파악
  • 절댓값의 개념을 쉽게 이해

📝 연습해보기

다음 정수들을 수직선에서 찾아보세요!

-6
0
3
-1

3. 절댓값과 대소관계

📏 절댓값이란?

절댓값은 수직선에서 0까지의 거리를 나타내는 값이에요. 거리는 항상 0 이상이므로 절댓값도 항상 0 이상의 값을 가져요!

|a| = a까지의 거리

"|a|"는 "a의 절댓값"이라고 읽어요

✅ 절댓값의 예

|5|=5

5는 0으로부터 5만큼 떨어져 있어요

|-7|=7

-7은 0으로부터 7만큼 떨어져 있어요

|0|=0

0은 0으로부터 0만큼 떨어져 있어요

📐 절댓값의 성질

1. 항상 0 이상

|a| ≥ 0 (모든 정수 a에 대해)

2. 대칭성

|a| = |-a|

예: |3| = |-3| = 3

3. 부호 제거

양수는 그대로, 음수는 부호만 제거

📊 정수의 대소관계

수직선에서 오른쪽에 있는 수가 더 큰 수예요!

기본 규칙

  • • 모든 양수 > 0 > 모든 음수
  • • 양수끼리는 큰 수가 더 커요
  • • 음수끼리는 절댓값이 작은 수가 더 커요
  • • 예: -2 > -5 (|-2| < |-5|이므로)

대소관계 기호

  • > : ~보다 크다
  • < : ~보다 작다
  • ≥ : ~보다 크거나 같다
  • ≤ : ~보다 작거나 같다

📝 예제 1: 절댓값 구하기

|8| = ?
답: 8
|-15| = ?
답: 15
|0| = ?
답: 0
|-100| = ?
답: 100

📝 예제 2: 대소관계 비교하기

다음 수를 작은 순서대로 나열하세요: 5, -3, 0, -8, 2

수직선에서 위치: -8, -3, 0, 2, 5
답: -8 < -3 < 0 < 2 < 5

|-6|과 |4| 중 어느 것이 더 클까요?

|-6| = 6, |4| = 4
답: |-6| > |4| (6 > 4)

💡 기억하면 좋은 팁!

  • 절댓값: "0으로부터의 거리"라고 생각하세요
  • 양수와 음수: 양수는 항상 음수보다 커요
  • 음수끼리 비교: 절댓값이 작을수록 더 큰 수예요
  • 수직선 활용: 헷갈릴 때는 수직선을 그려보세요!

4. 정수의 덧셈

정수의 덧셈을 배워볼 시간이에요! 양수끼리, 음수끼리, 그리고 양수와 음수를 더하는 방법을 차근차근 알아보겠습니다. 수직선을 이용하면 더 쉽게 이해할 수 있어요! ➕

📐 같은 부호끼리 더하기

절댓값을 더하고, 공통 부호를 붙여요!

양수 + 양수

(+3) + (+5)=+8
(+7) + (+2)=+9
4 + 6=10

음수 + 음수

(-4) + (-6)=-10
(-2) + (-3)=-5
(-8) + (-1)=-9

📐 다른 부호끼리 더하기

절댓값을 빼고, 절댓값이 큰 수의 부호를 붙여요!

양수 + 음수

(+5) + (-3)
|5| > |3|이므로 부호는 +
5 - 3 = 2
답: +2
(+2) + (-7)
|7| > |2|이므로 부호는 -
7 - 2 = 5
답: -5

음수 + 양수

(-4) + (+6)
|6| > |4|이므로 부호는 +
6 - 4 = 2
답: +2
(-8) + (+3)
|8| > |3|이므로 부호는 -
8 - 3 = 5
답: -5

📝 단계별 풀이 연습

예제 1: (-7) + (-3)

1
같은 부호(음수끼리)인지 확인
✓
2
절댓값을 더하기: |7| + |3| = 10
3
공통 부호 붙이기
답: -10

예제 2: (+8) + (-5)

1
다른 부호인지 확인
✓
2
절댓값 비교: |8| > |5|
3
절댓값을 빼기: 8 - 5 = 3
4
절댓값이 큰 수(+8)의 부호
답: +3

🎯 수직선으로 덧셈 이해하기

양수를 더할 때는 오른쪽으로, 음수를 더할 때는 왼쪽으로 이동해요!

예: (-2) + (+5) = ?

1. -2에서 시작
2. +5만큼 오른쪽으로 이동
3. -2 → -1 → 0 → 1 → 2 → 3
답: +3

📋 덧셈 규칙 요약

같은 부호

  • 절댓값을 더한다
  • 공통 부호를 붙인다
  • (+) + (+) = (+)
  • (-) + (-) = (-)

다른 부호

  • 절댓값을 뺀다
  • 절댓값이 큰 수의 부호
  • (+) + (-) = (큰 쪽 부호)
  • (-) + (+) = (큰 쪽 부호)

5. 정수의 뺄셈

정수의 뺄셈은 사실 덧셈으로 바꿔서 계산할 수 있어요! "빼기는 더하기의 반대를 더하는 것"이라는 마법 같은 규칙을 배워보겠습니다. ✨

🔄 뺄셈의 황금 규칙

a - b = a + (-b)

"a에서 b를 빼는 것 = a에 b의 반대를 더하는 것"

예시로 이해하기

5 - 3 = 5 + (-3) = 2
7 - (-2) = 7 + (+2) = 9

📝 단계별 뺄셈 방법

예제 1: (+5) - (+3)

1
(+5) - (+3)
주어진 식
2
(+5) + (-3)
뺄셈을 덧셈으로 변환
3
+2
답!

예제 2: (-8) - (-3)

1
(-8) - (-3)
주어진 식
2
(-8) + (+3)
뺄셈을 덧셈으로 변환
3
-5
답!

예제 3: (+2) - (-7)

1
(+2) - (-7)
주어진 식
2
(+2) + (+7)
뺄셈을 덧셈으로 변환
3
+9
답!

🔄 부호 변화 규칙

양수를 뺄 때

- (+a)→+ (-a)
예: - (+5) → + (-5)
예: - (+3) → + (-3)

음수를 뺄 때

- (-a)→+ (+a)
예: - (-4) → + (+4)
예: - (-7) → + (+7)

📊 다양한 뺄셈 연습

9 - 4 = ?
= 9 + (-4)
= 5
3 - 8 = ?
= 3 + (-8)
= -5
(-5) - 2 = ?
= (-5) + (-2)
= -7
(-6) - (-4) = ?
= (-6) + (+4)
= -2
0 - (-3) = ?
= 0 + (+3)
= 3
(-7) - (-7) = ?
= (-7) + (+7)
= 0

💡 뺄셈 마스터 팁

  • 핵심 원리: 뺄셈은 항상 덧셈으로 바꿔서 계산해요
  • 부호 변화: -(+a) = -a, -(-a) = +a
  • 단계별 접근: 차근차근 부호 변화를 적용하세요
  • 검산 방법: 답을 원래 식에 대입해서 확인하세요

6. 정수의 곱셈

정수의 곱셈을 배울 시간이에요! 곱셈에서 가장 중요한 것은 부호 규칙이에요. 절댓값은 자연수 곱셈과 똑같고, 부호만 신경쓰면 됩니다. 😊

🎯 정수 곱셈의 부호 규칙

같은 부호끼리

(+) × (+) = (+)

양수 × 양수 = 양수

(-) × (-) = (+)

음수 × 음수 = 양수

다른 부호끼리

(+) × (-) = (-)

양수 × 음수 = 음수

(-) × (+) = (-)

음수 × 양수 = 음수

📝 예제 1: 같은 부호끼리 곱하기

양수 × 양수

(+3) × (+4)=+12
5 × 6=30
(+7) × (+2)=+14

음수 × 음수

(-5) × (-2)=+10
(-7) × (-3)=+21
(-4) × (-6)=+24

📝 예제 2: 다른 부호끼리 곱하기

양수 × 음수

(+6) × (-2)=-12
4 × (-5)=-20
(+8) × (-3)=-24

음수 × 양수

(-4) × (+5)=-20
(-9) × 2=-18
(-7) × (+4)=-28

📝 예제 3: 여러 수의 곱셈

여러 수를 곱할 때는 음수의 개수를 세어보세요!

1
(-2) × (+3) × (-4)
음수의 개수:2개 (짝수)
결과 부호:양수 (+)
절댓값:2 × 3 × 4 = 24
답: +24
2
(-1) × (-2) × (-3) × (+4)
음수의 개수:3개 (홀수)
결과 부호:음수 (-)
절댓값:1 × 2 × 3 × 4 = 24
답: -24

🔢 0과의 곱셈

0과 곱하면 항상 0이에요!

5 × 0 = 0
(-3) × 0 = 0
0 × 7 = 0
0 × (-4) = 0
(-8) × 0 × 2 = 0
0 × 0 = 0

💡 곱셈의 특별한 성질

곱셈의 법칙

  • 교환법칙: a × b = b × a
  • 결합법칙: (a × b) × c = a × (b × c)
  • 분배법칙: a × (b + c) = a × b + a × c

특별한 경우

  • 어떤 수 × 0 = 0
  • 어떤 수 × 1 = 그 수 자신
  • 어떤 수 × (-1) = 그 수의 반대
  • 음수가 짝수 개 → 양수
  • 음수가 홀수 개 → 음수

7. 정수의 나눗셈

정수의 나눗셈은 곱셈과 부호 규칙이 똑같아요! 다만 나누어떨어지는 경우만 배우게 됩니다. 곱셈을 잘 이해했다면 나눗셈도 금세 익힐 수 있어요! 😊

🎯 정수 나눗셈의 부호 규칙

곱셈과 똑같은 규칙이에요!

같은 부호끼리

(+) ÷ (+) = (+)

양수 ÷ 양수 = 양수

(-) ÷ (-) = (+)

음수 ÷ 음수 = 양수

다른 부호끼리

(+) ÷ (-) = (-)

양수 ÷ 음수 = 음수

(-) ÷ (+) = (-)

음수 ÷ 양수 = 음수

📝 예제 1: 같은 부호끼리 나누기

양수 ÷ 양수

1
(+12) ÷ (+3)
부호: (+) ÷ (+) = (+)
절댓값: 12 ÷ 3 = 4
답: +4
20 ÷ 4 = 5
(+15) ÷ (+5) = +3

음수 ÷ 음수

1
(-15) ÷ (-5)
부호: (-) ÷ (-) = (+)
절댓값: 15 ÷ 5 = 3
답: +3
(-24) ÷ (-6) = +4
(-21) ÷ (-7) = +3

📝 예제 2: 다른 부호끼리 나누기

양수 ÷ 음수

1
(+18) ÷ (-3)
부호: (+) ÷ (-) = (-)
절댓값: 18 ÷ 3 = 6
답: -6
28 ÷ (-4) = -7
(+35) ÷ (-5) = -7

음수 ÷ 양수

1
(-20) ÷ (+4)
부호: (-) ÷ (+) = (-)
절댓값: 20 ÷ 4 = 5
답: -5
(-32) ÷ 8 = -4
(-42) ÷ (+6) = -7

📝 예제 3: 연속 나눗셈

1
(-24) ÷ (+3) ÷ (-2)
= (-24) ÷ (+3) ÷ (-2)
= (-8) ÷ (-2)
= (+4)
답: +4

⚠️ 0과의 나눗셈

중요한 규칙!

허용되는 경우
0 ÷ 5 = 0
0 ÷ (-3) = 0
0 ÷ (양수 또는 음수) = 0
절대 금지!
5 ÷ 0 = 정의되지 않음
(-3) ÷ 0 = 정의되지 않음
0 ÷ 0 = 정의되지 않음

💡 나눗셈 마스터 팁

기억하세요!

  • 부호 규칙은 곱셈과 동일
  • 같은 부호 → 양수
  • 다른 부호 → 음수
  • 0으로 나누기는 불가능

확인 방법

  • 답 × 나누는 수 = 나누어지는 수
  • 예: (-12) ÷ (+3) = -4
  • 확인: (-4) × (+3) = -12 ✓

8. 정수의 혼합 계산

이제 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 모두 섞인 문제를 풀어볼 차례예요! 연산 순서만 정확히 지키면 어떤 복잡한 문제도 해결할 수 있어요! 🎯

📋 연산 순서 (우선순위)

1괄호 ( ) 안의 계산
2곱셈(×)과 나눗셈(÷) - 왼쪽부터
3덧셈(+)과 뺄셈(-) - 왼쪽부터

📝 예제 1: 사칙연산 혼합

(-2) + (+3) × (-4) - (+5)
1
먼저 곱셈을 계산: (+3) × (-4) = -12
2
(-2) + (-12) - (+5)
3
왼쪽부터 계산: (-2) + (-12) = -14
4
마지막: (-14) - (+5) = (-14) + (-5) = -19
답: -19

📝 예제 2: 괄호가 있는 계산

(-6) × [2 + (-5)] ÷ (+3)
1
먼저 대괄호 안의 계산: 2 + (-5) = -3
2
(-6) × (-3) ÷ (+3)
3
왼쪽부터 계산: (-6) × (-3) = +18
4
마지막: (+18) ÷ (+3) = +6
답: +6

📝 예제 3: 복잡한 혼합 계산

(-8) ÷ (+2) - (-3) × (+4) + 5
1
나눗셈과 곱셈을 먼저 계산
2
(-8) ÷ (+2) = -4, (-3) × (+4) = -12
3
(-4) - (-12) + 5
4
(-4) - (-12) = (-4) + (+12) = +8
5
(+8) + 5 = +13
답: +13

💡 혼합 계산 마스터 팁

계산 전 체크리스트

  • 연산 순서 확인
  • 괄호 위치 파악
  • 부호 확인
  • 단계별 계획 세우기

실수 방지법

  • 한 단계씩 차근차근
  • 중간 과정 모두 기록
  • 부호 변화 항상 확인
  • 최종 답 검토

9. 실생활 활용

정수는 우리 생활 곳곳에 숨어있어요! 온도, 성적, 수익과 손실, 높이와 깊이 등에서 음수와 양수를 모두 만날 수 있답니다. 실생활 예제를 통해 정수의 유용함을 느껴보세요! 🌟

🌡️ 온도와 기후

문제 1: 기온 변화

어제 기온이 -5℃였는데, 오늘은 3℃ 올랐습니다. 오늘의 기온은?

(-5) + (+3) = -2℃

문제 2: 평균 기온

5일간의 기온이 2℃, -1℃, -3℃, 1℃, -4℃였습니다. 평균 기온은?

[2+(-1)+(-3)+1+(-4)] ÷ 5 = -1℃

💰 수익과 손실

문제 3: 게임 점수

철수가 게임에서 50점을 얻었다가 30점을 잃고, 다시 20점을 얻었습니다. 최종 점수는?

(+50) + (-30) + (+20) = +40점

문제 4: 용돈 관리

영희가 용돈 20,000원을 받고, 과자에 3,000원, 문구류에 5,000원을 썼습니다. 남은 돈은?

(+20,000) + (-3,000) + (-5,000) = +12,000원

📊 성적과 변화

문제 5: 성적 변화

수학 점수가 80점에서 5점 올랐다가 3점 떨어졌습니다. 최종 점수는?

80 + (+5) + (-3) = 82점

문제 6: 반 평균과의 차이

반 평균이 75점일 때, 내 점수 82점은 평균보다 몇 점 높은가요?

82 - 75 = +7점 (평균보다 7점 높음)

🏢 높이와 깊이

문제 7: 엘리베이터

지하 2층에서 시작해서 위로 7층 올라간 후, 다시 아래로 3층 내려갔습니다. 현재 층은?

(-2) + (+7) + (-3) = +2층

문제 8: 해수면 기준

해수면을 0m로 할 때, 에베레스트산(8,848m)과 사해(-400m)의 높이 차이는?

(+8,848) - (-400) = 9,248m

⏰ 시간과 방향

문제 9: 시간대 차이

한국이 오후 3시일 때, 런던은 9시간 늦습니다. 런던의 현재 시각은?

15 + (-9) = 오전 6시

문제 10: 이동 거리

동쪽을 +, 서쪽을 -로 할 때, 동쪽으로 5km 간 후 서쪽으로 3km 가면 출발점에서 어디에?

(+5) + (-3) = +2km (동쪽으로 2km 지점)

🌟 정수 활용의 핵심

정수는 우리 생활을 정확하게 표현하는 강력한 도구예요! 양수와 음수를 통해 증가와 감소, 이익과 손실, 위와 아래 등 반대되는 상황을 명확하게 나타낼 수 있답니다. 정수를 잘 이해하면 세상을 더 논리적으로 바라볼 수 있는 수학적 사고력을 기를 수 있어요! 🧠✨

🎓 축하합니다!

여러분은 이제 정수의 마스터가 되었어요! 정수의 개념부터 사칙연산, 복잡한 혼합 계산까지 모두 정복했습니다. 이제 어떤 정수 문제가 나와도 자신 있게 해결할 수 있을 거예요. 다음 단원인 유리수에서도 이 지식이 큰 도움이 될 거예요. 계속 화이팅! 💪🎉