비와 비율

6학년 친구들과 함께 탐험하는 비와 비율의 놀라운 세계!

📚목차

1비와 비율이 뭘까요?
2비의 성질 알아보기
3비례식과 비례배분
4정비례와 반비례
5백분율과 비율
6생활 속 비와 비율 활용하기

🔍1장. 비와 비율이 뭘까요?

안녕하세요, 우리 6학년 친구들! 오늘은 비와 비율이라는 아주 흥미로운 수학 개념을 배워볼 거예요. "비가 뭐야? 비율이 뭐야?"라고 궁금해하는 친구들이 많을 텐데, 사실 우리는 이미 일상생활에서 비와 비율을 많이 사용하고 있답니다!

비(比)란 무엇인가요?

비는 두 수의 크기를 비교하는 방법이에요. "A : B" 또는 "A 대 B"로 나타내죠.

예시: 사과 3개, 배 2개

사과와 배의 비 = 3 : 2

비율이란 무엇인가요?

비율은 비를 분수나 소수로 나타낸 것이에요. 전체에서 차지하는 정도를 알 수 있어요.

예시: 3 : 2의 비율

3/2 = 1.5 또는 3/(3+2) = 3/5

🎨 실생활 예시

음료수 만들기

원액 1컵과 물 2컵을 섞어서 음료수를 만들어요.

원액 : 물 = 1 : 2

반 친구들

우리 반에 남학생 15명, 여학생 13명이 있어요.

남학생 : 여학생 = 15 : 13

📝 비를 읽는 방법

3 : 2→ "3 대 2" 또는 "삼 대 이"

5 : 4 : 3→ "5 대 4 대 3"

1 : 2.5→ "1 대 2.5"

🔬2장. 비의 성질 알아보기

비에는 아주 흥미로운 성질들이 있어요! 분수와 비슷한 점도 많고, 간단하게 만들 수도 있답니다. 함께 알아볼까요?

비의 기본 성질 🎯

1. 순서가 중요해요!

3 : 2 ≠ 2 : 3 (앞뒤가 바뀌면 다른 비예요)

2. 같은 수로 곱하거나 나누면 같은 비

4 : 6 = 2 : 3 (둘 다 2로 나눈 결과)

3. 분수로 나타낼 수 있어요

3 : 2 = 3/2

기약비 만들기 ⚡

기약비란? 더 이상 간단히 할 수 없는 비

예제: 12 : 8을 기약비로 만들어보세요

1단계: 12와 8의 최대공약수 구하기 → 4
2단계: 둘 다 4로 나누기 → 12÷4 : 8÷4 = 3 : 2
답: 3 : 2

예제: 0.6 : 0.4를 기약비로 만들어보세요

1단계: 소수를 자연수로 → 6 : 4
2단계: 최대공약수 2로 나누기 → 3 : 2
답: 3 : 2

비의 값 구하기 📊

비의 값은 앞의 수를 뒤의 수로 나눈 값이에요!

6 : 3의 비의 값

6 ÷ 3 = 2

4 : 5의 비의 값

4 ÷ 5 = 0.8

🎯 연습 문제

문제 1

20 : 15를 기약비로 나타내세요.

힌트: 최대공약수는 5

답: 4 : 3

문제 2

1.5 : 2.5의 비의 값을 구하세요.

힌트: 1.5 ÷ 2.5 = ?

답: 0.6

⚖️3장. 비례식과 비례배분

이제 비례식이라는 아주 유용한 도구를 배워볼 거예요! 비례식을 이용하면 모르는 값을 쉽게 찾을 수 있고, 공평하게 나누는 방법도 알 수 있어요.

비례식이란? 🎯

두 비가 같다는 것을 나타내는 식이에요!

a : b = c : d

"a 대 b는 c 대 d와 같다"

예시: 2 : 3 = 4 : 6

(둘 다 비의 값이 2/3로 같아요)

비례식의 성질 ⚡

외항과 내항의 곱은 같아요!

a : b = c : d에서

a × d = b × c

외항: a, d (바깥쪽에 있는 항)

내항: b, c (안쪽에 있는 항)

비례식 문제 해결하기

예제: 3 : 4 = x : 12에서 x 구하기

1단계: 외항과 내항의 곱이 같다는 성질 사용

3 × 12 = 4 × x

2단계: 계산하기

36 = 4x

3단계: x 구하기

x = 36 ÷ 4 = 9

답: x = 9

비례배분 💰

어떤 수를 주어진 비로 나누는 것이에요!

예제: 60을 2 : 3으로 나누어보세요

1단계: 비의 합 구하기 → 2 + 3 = 5

2단계: 각각의 몫 구하기

• 첫 번째: 60 × 2/5 = 24

• 두 번째: 60 × 3/5 = 36

답: 24, 36

검산: 24 + 36 = 60 ✓, 24 : 36 = 2 : 3 ✓

🎯 연습 문제

문제 1

5 : 8 = 15 : x에서 x를 구하세요.

힌트: 5 × x = 8 × 15

답: x = 24

문제 2

72를 3 : 5로 비례배분하세요.

힌트: 3+5=8, 72×3/8, 72×5/8

답: 27, 45

📈4장. 정비례와 반비례

우리 주변에는 서로 관련이 있는 두 양이 많아요. 어떤 것은 하나가 커지면 다른 것도 커지고, 어떤 것은 하나가 커지면 다른 것이 작아져요. 이런 관계를 정비례와 반비례라고 해요!

정비례란? 📈

한 양이 2배, 3배가 되면 다른 양도 2배, 3배가 되는 관계예요!

예시: 사탕의 개수와 가격

• 사탕 1개 → 100원
• 사탕 2개 → 200원
• 사탕 3개 → 300원

사탕이 2배가 되면 가격도 2배!

정비례 식

y = ax (a는 일정한 수)

x가 2배가 되면 y도 2배

반비례란? 📉

한 양이 2배가 되면 다른 양이 1/2배가 되는 관계예요!

예시: 속력과 시간

• 시속 20km → 3시간
• 시속 40km → 1.5시간
• 시속 60km → 1시간

속력이 2배가 되면 시간은 1/2배!

반비례 식

y = a/x (a는 일정한 수)

x가 2배가 되면 y는 1/2배

정비례와 반비례 구분하기 🎯

정비례 특징

• 한 양이 증가하면 다른 양도 증가
• 비례상수가 일정함
• y/x = 일정
• 그래프가 원점을 지나는 직선

반비례 특징

• 한 양이 증가하면 다른 양은 감소
• 곱이 일정함
• x × y = 일정
• 그래프가 곡선 모양

🌟 실생활 속 정비례와 반비례

정비례 예시

•일한 시간과 임금
•물건의 개수와 총 가격
•달린 거리와 걸린 시간(속력 일정)

반비례 예시

•속력과 시간(거리 일정)
•일하는 사람 수와 걸리는 시간
•직사각형의 가로와 세로(넓이 일정)

🎯 연습 문제

문제 1

x와 y가 정비례하고, x=4일 때 y=12라면 x=7일 때 y는?

힌트: y=ax에서 a를 먼저 구하세요

답: y = 21

문제 2

x와 y가 반비례하고, x=6일 때 y=8이라면 x=4일 때 y는?

힌트: x×y=일정, 6×8=48

답: y = 12

📊5장. 백분율과 비율

백분율은 우리 생활에서 정말 많이 사용되는 표현 방법이에요! 할인율, 적중률, 습도 등등... 모든 곳에서 %를 볼 수 있죠. 백분율과 비율의 관계를 자세히 알아볼까요?

백분율이란? 💯

전체를 100으로 볼 때, 그 중 얼마나 되는지를 나타내는 방법이에요!

백분율 = (부분/전체) × 100

결과에 %를 붙여서 표현해요

예시: 100명 중 25명

25/100 × 100 = 25%

비율의 여러 표현 방법

같은 비율을 다양하게 표현할 수 있어요!

예제: 전체 20개 중 5개

비

5 : 20

분수

5/20 = 1/4

소수

0.25

백분율

25%

백분율 계산하기 🧮

1. 기본 백분율 구하기

우리 반 28명 중 여학생이 12명이라면?

12/28 × 100 = 42.86... ≈ 43%

2. 전체에서 부분 구하기

전체 200명의 35%는 몇 명?

200 × 35/100 = 70명

3. 전체 구하기

어떤 수의 40%가 80이라면 전체는?

80 ÷ 40/100 = 80 × 100/40 = 200

증가율과 감소율 📈📉

증가율

원래 값에서 얼마나 늘어났는지

증가율 = (증가량/원래 값) × 100

예: 100원 → 120원

증가율 = 20/100 × 100 = 20%

감소율

원래 값에서 얼마나 줄어들었는지

감소율 = (감소량/원래 값) × 100

예: 200원 → 150원

감소율 = 50/200 × 100 = 25%

🎯 연습 문제

문제 1

전체 150명 중 60명이 참석했다면 참석률은?

힌트: (60/150) × 100

답: 40%

문제 2

800원에서 200원으로 할인되었다면 할인율은?

힌트: 감소량 600원, (600/800) × 100

답: 75%

🏠6장. 생활 속 비와 비율 활용하기

와! 이제 비와 비율의 전문가가 되었어요! 우리가 배운 것들이 실생활에서 어떻게 사용되는지 함께 살펴보며, 수학이 얼마나 유용한지 느껴보세요!

🍳 요리할 때

레시피 조절하기

4인분 레시피를 6인분으로 늘리려면? 모든 재료를 6:4 = 3:2 비율로 늘려요!

설탕 2컵 → 2 × 3/2 = 3컵

음료 만들기

원액과 물을 1:3으로 섞어서 오렌지 주스를 만든다면, 원액 50ml에는 물을 얼마나 넣어야 할까요?

1:3 = 50:x → x = 150ml

💰 쇼핑할 때

할인율 계산

10,000원 옷이 30% 할인된다면 실제 가격은?

10,000 × (100-30)/100 = 7,000원

가격 비교

A 마트: 3개에 1,200원, B 마트: 5개에 1,800원 어느 쪽이 더 저렴할까요?

A: 1,200/3 = 400원/개, B: 1,800/5 = 360원/개 → B가 저렴

📊 성적과 통계

정답률 구하기

20문제 중 16문제를 맞혔다면 정답률은?

16/20 × 100 = 80%

성적 비교

수학:과학 점수가 4:3 비율이고 수학이 80점이라면 과학은?

4:3 = 80:x → x = 60점

🎨 미술과 디자인

황금비율

아름다운 비율로 유명한 황금비는 약 1:1.618이에요. 가로가 10cm라면 세로는?

1:1.618 = 10:x → x ≈ 16.18cm

색깔 혼합

빨간색과 파란색을 3:2로 섞어서 보라색을 만들 때, 빨간색 90ml에는 파간색을 얼마나?

3:2 = 90:x → x = 60ml

🏃‍♂️ 운동과 건강

운동 성과 측정

자유투 50개 중 35개를 성공했다면 성공률은?

35/50 × 100 = 70%

체중 변화

몸무게가 50kg에서 47kg로 변했다면 감소율은?

(50-47)/50 × 100 = 6%

👨‍🏫 선생님의 조언

🎯 실생활 연결: 비와 비율은 정말 어디에나 숨어있어요!

💡 비례 관계: 두 양의 관계를 파악하는 것이 중요해요.

🌟 정확한 계산: 백분율 계산할 때는 소수점에 주의하세요.

📚 응용력 기르기: 다양한 상황에서 비와 비율을 찾아보세요!

📋 총정리

✅ 우리가 배운 것들

• 비와 비율의 의미
• 비의 성질과 기약비
• 비례식과 비례배분
• 정비례와 반비례
• 백분율과 증감률
• 실생활 활용 방법

🔢 중요한 공식들

비례식: a : b = c : d → a×d = b×c

백분율: (부분/전체) × 100

정비례: y = ax, 반비례: y = a/x

🧩도전! 비와 비율 퀴즈

퀴즈 1: 기본 계산

18 : 24를 기약비로 나타내면?

답 보기

최대공약수 6으로 나누면 3 : 4

퀴즈 2: 비례식

3 : 5 = x : 20에서 x의 값은?

답 보기

3 × 20 = 5 × x → x = 12

퀴즈 3: 백분율

80명 중 64명이 합격했다면 합격률은?

답 보기

64/80 × 100 = 80%

퀴즈 4: 비례배분

120을 2 : 3 : 7로 비례배분하면?

답 보기

2+3+7=12, 120×2/12=20, 120×3/12=30, 120×7/12=70

퀴즈 5: 정비례

x와 y가 정비례하고 x=4일 때 y=10이면, x=6일 때 y는?

답 보기

y = 2.5x (비례상수 2.5), x=6일 때 y=15

퀴즈 6: 실생활 문제

원액과 물을 1:4로 섞어 주스를 만들 때, 원액 150ml에는 물을 얼마나?

답 보기

1:4 = 150:x → x = 600ml

🏆 도전 문제

A, B, C 세 사람이 일을 했어요. A와 B가 일한 시간의 비는 3:4이고, B와 C가 일한 시간의 비는 2:5예요. 전체 임금 240만원을 일한 시간에 비례해서 나누면 각자 얼마씩 받을까요?

해답 보기

해결 과정:

A:B = 3:4, B:C = 2:5

B를 기준으로 통일: A:B:C = 3:4:10 (B에 2를 맞춤)

비의 합: 3+4+10 = 17

A: 240 × 3/17 ≈ 42만원

B: 240 × 4/17 ≈ 56만원

C: 240 × 10/17 ≈ 142만원

🎉 축하해요!

여러분은 이제 비와 비율의 달인이 되었어요!

비와 비율은 우리 생활 곳곳에 숨어있는 수학의 보물이에요.

요리할 때, 쇼핑할 때, 성적을 비교할 때도 모두 비와 비율을 사용하죠.

앞으로도 주변의 비와 비율을 찾아보며 수학적 사고력을 키워나가세요! 🌟📊

수학교실

학습 팁

비와 비율

📚목차

🔍1장. 비와 비율이 뭘까요?

비(比)란 무엇인가요?

비율이란 무엇인가요?

🎨 실생활 예시

음료수 만들기

반 친구들

📝 비를 읽는 방법

🔬2장. 비의 성질 알아보기

비의 기본 성질 🎯

1. 순서가 중요해요!

2. 같은 수로 곱하거나 나누면 같은 비

3. 분수로 나타낼 수 있어요

기약비 만들기 ⚡

기약비란? 더 이상 간단히 할 수 없는 비

비의 값 구하기 📊

🎯 연습 문제

문제 1

문제 2

⚖️3장. 비례식과 비례배분

비례식이란? 🎯

비례식의 성질 ⚡

외항과 내항의 곱은 같아요!

비례식 문제 해결하기

예제: 3 : 4 = x : 12에서 x 구하기

비례배분 💰

어떤 수를 주어진 비로 나누는 것이에요!

🎯 연습 문제

문제 1

문제 2

📈4장. 정비례와 반비례

정비례란? 📈

예시: 사탕의 개수와 가격

정비례 식

반비례란? 📉

예시: 속력과 시간

반비례 식

정비례와 반비례 구분하기 🎯

정비례 특징

반비례 특징

🌟 실생활 속 정비례와 반비례

정비례 예시

반비례 예시

🎯 연습 문제

문제 1

문제 2

📊5장. 백분율과 비율

백분율이란? 💯

비율의 여러 표현 방법

같은 비율을 다양하게 표현할 수 있어요!

백분율 계산하기 🧮

1. 기본 백분율 구하기

2. 전체에서 부분 구하기

3. 전체 구하기

증가율과 감소율 📈📉

증가율

감소율

🎯 연습 문제

문제 1

문제 2

🏠6장. 생활 속 비와 비율 활용하기

🍳 요리할 때

레시피 조절하기

음료 만들기

💰 쇼핑할 때

할인율 계산

가격 비교

📊 성적과 통계

정답률 구하기

성적 비교

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황금비율

색깔 혼합

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운동 성과 측정

체중 변화

👨‍🏫 선생님의 조언