📚 최소공배수 완전정복

1. 배수와 공배수란?

안녕하세요, 여러분! 👋 오늘은 최소공배수에 대해 배워볼 거예요. 먼저 배수가 무엇인지부터 차근차근 알아볼까요?

여러분이 구구단을 외울 때를 생각해보세요. 3단을 외우면 3, 6, 9, 12, 15... 이런 수들이 나오죠? 바로 이 수들이 3의 배수랍니다! 🧮

📖 배수의 정의

배수: 어떤 자연수 a에 자연수를 곱해서 나오는 수들
a의 배수 = a × 1, a × 2, a × 3, a × 4, ...

🔢 3의 배수들

3 × 1 = 3

3 × 2 = 6

3 × 3 = 9

3 × 4 = 12

3 × 5 = 15

3 × 6 = 18

3의 배수: 3, 6, 9, 12, 15, 18, ...

🔢 4의 배수들

4 × 1 = 4

4 × 2 = 8

4 × 3 = 12

4 × 4 = 16

4 × 5 = 20

4 × 6 = 24

4의 배수: 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...

🔍 공배수 찾기

자, 이제 3의 배수와 4의 배수를 비교해볼까요? 두 배수 목록에서 똑같이 나타나는 수가 있나요?

3의 배수

369121518212427

4의 배수

4812162024283236

🎯 공통으로 나타나는 수: 12, 24, 36, ...

이 수들을 3과 4의 공배수라고 해요!

💡 정리하기

배수: 어떤 수에 자연수를 곱해서 나오는 수
공배수: 두 수 이상의 공통된 배수
공배수는 무한히 많이 있어요!
가장 작은 공배수가 바로 최소공배수예요! 🌟

2. 최소공배수의 개념

이제 최소공배수(LCM: Least Common Multiple)가 무엇인지 알아볼까요? 😊

앞에서 3과 4의 공배수가 12, 24, 36, ... 이라고 했죠? 이 중에서 가장 작은 수가 바로 최소공배수예요!

📚 최소공배수의 정의

최소공배수 (LCM)

두 개 이상의 자연수의 공배수 중에서 가장 작은 수

LCM(a, b) = a와 b의 최소공배수

🎯 예제 1: LCM(3, 4) 구하기

3의 배수

3 × 1 = 3

3 × 2 = 6

3 × 3 = 9

3 × 4 = 12 ✓

3 × 5 = 15

3 × 6 = 18

3 × 7 = 21

3 × 8 = 24 ✓

4의 배수

4 × 1 = 4

4 × 2 = 8

4 × 3 = 12 ✓

4 × 4 = 16

4 × 5 = 20

4 × 6 = 24 ✓

4 × 7 = 28

4 × 8 = 32

공배수: 12, 24, 36, 48, ...

LCM(3, 4) = 12

🎯 예제 2: LCM(6, 8) 구하기

6의 배수

612182430364248

8의 배수

816243240485664

공배수: 24, 48, 72, ...

LCM(6, 8) = 24

🤔 생각해보기

Q1: LCM(5, 7) = ?

5와 7은 서로소(공약수가 1뿐인 수)예요. 이런 경우 최소공배수는?

5 × 7 = 35

Q2: LCM(4, 12) = ?

4의 배수: 4, 8, 12, 16, 20, ...

12의 배수: 12, 24, 36, ...

LCM(4, 12) = 12

한 수가 다른 수의 배수인 경우, 큰 수가 최소공배수!

3. 최소공배수 구하는 방법

이제 최소공배수를 구하는 여러 가지 방법을 배워볼까요? 😊

배수를 나열하는 방법 말고도 더 효율적인 방법들이 있어요. 차근차근 알아봅시다!

🎯 방법 1: 배수 나열법

가장 기본적인 방법이에요. 각 수의 배수를 나열해서 공통된 가장 작은 수를 찾아요.

예제: LCM(6, 9) 구하기

6의 배수: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...

9의 배수: 9, 18, 27, 36, 45, ...

공배수: 18, 36, 54, ... → LCM(6, 9) = 18

🎯 방법 2: 공약수 이용법

두 수를 계속 나누어가며 최소공배수를 구하는 방법이에요.

예제: LCM(12, 18) 구하기

나누는 수

두 수를 공약수로 나누어요 (2로 나누기)

또 다른 공약수로 나누어요 (3으로 나누기)

더 이상 공약수가 없을 때까지 반복

LCM = 2 × 3 × 2 × 3 = 36

🎯 방법 3: 단계적 나눗셈

깔끔하고 체계적인 방법이에요. 실제로 가장 많이 사용하는 방법이죠!

예제: LCM(15, 20, 25) 구하기

나누는 수	15	20	25
5	3	4	5
5	3	4	1
2	3	2	1
2	3	1	1
3	1	1	1

LCM(15, 20, 25) = 5 × 5 × 2 × 2 × 3 = 300

💡 어떤 방법을 선택할까요?

배수 나열법

수가 작을 때 유용
직관적으로 이해하기 쉬움
두 수만 비교할 때 좋음

공약수 이용법

중간 크기의 수에 적합
계산이 비교적 간단
실수할 확률이 낮음

단계적 나눗셈

세 수 이상일 때 필수
큰 수에도 효과적
가장 체계적인 방법

4. 소인수분해로 최소공배수 구하기

이제 소인수분해를 이용해서 최소공배수를 구하는 방법을 배워볼까요? 🧮

이 방법은 수학적으로 가장 정확하고 체계적인 방법이에요. 복잡해 보이지만 원리를 이해하면 매우 쉬워져요!

📚 소인수분해 복습

소인수분해란 어떤 수를 소수들의 곱으로 나타내는 것이에요.

예시: 12의 소인수분해

12 = 2² × 3¹

12 = 2 × 2 × 3

예시: 18의 소인수분해

18 = 2¹ × 3²

18 = 2 × 3 × 3

🎯 소인수분해로 LCM 구하는 공식

LCM 구하는 방법

각 소인수에 대해 가장 큰 지수를 선택해서 곱하기

예제: LCM(12, 18) 구하기

소인수분해: 12 = 2² × 3¹, 18 = 2¹ × 3²

소인수 2: max(2², 2¹) = 2² (더 큰 지수 선택)

소인수 3: max(3¹, 3²) = 3² (더 큰 지수 선택)

LCM(12, 18) = 2² × 3² = 4 × 9 = 36

🎯 좀 더 복잡한 예제

예제: LCM(24, 36, 40) 구하기

24 소인수분해

24 = 2³ × 3¹

36 소인수분해

36 = 2² × 3²

40 소인수분해

40 = 2³ × 5¹

각 소인수별 최대 지수 찾기

소인수 2: max(2³, 2², 2³) = 2³

소인수 3: max(3¹, 3², 없음) = 3²

소인수 5: max(없음, 없음, 5¹) = 5¹

LCM(24, 36, 40) = 2³ × 3² × 5¹ = 8 × 9 × 5 = 360

🎯 연습 문제

문제 1: LCM(20, 30) = ?

20 = 2² × 5¹

30 = 2¹ × 3¹ × 5¹

답: 2² × 3¹ × 5¹ = 4 × 3 × 5 = 60

문제 2: LCM(15, 25, 35) = ?

15 = 3¹ × 5¹

25 = 5²

35 = 5¹ × 7¹

답: 3¹ × 5² × 7¹ = 3 × 25 × 7 = 525

💡 소인수분해 방법의 장점

정확성: 실수할 가능성이 매우 낮아요
효율성: 큰 수나 여러 수의 LCM을 쉽게 구할 수 있어요
체계성: 단계별로 논리적으로 접근할 수 있어요
응용성: 최대공약수(GCD)도 같은 방법으로 구할 수 있어요

5. 세 수 이상의 최소공배수

이제 세 개 이상의 수의 최소공배수를 구하는 방법을 배워볼까요? 😊

두 수의 최소공배수를 구할 수 있다면, 세 수 이상도 충분히 할 수 있어요! 차근차근 알아봅시다.

🎯 방법 1: 단계별 계산

먼저 두 수의 LCM을 구하고, 그 결과와 세 번째 수의 LCM을 구하는 방법이에요.

예제: LCM(4, 6, 8) 구하기

LCM(4, 6) 먼저 구하기

4의 배수: 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...
6의 배수: 6, 12, 18, 24, ...
→ LCM(4, 6) = 12

LCM(12, 8) 구하기

12의 배수: 12, 24, 36, ...
8의 배수: 8, 16, 24, 32, ...
→ LCM(12, 8) = 24

LCM(4, 6, 8) = 24

🎯 방법 2: 동시 나눗셈

모든 수를 동시에 소인수로 나누어가는 방법이에요. 가장 효율적이죠!

예제: LCM(12, 15, 18) 구하기

나누는 수	12	15	18
2	6	15	9
3	2	5	3
3	2	5	1
2	1	5	1
5	1	1	1

설명:

어느 하나라도 나누어떨어지면 그 소수로 나누기
나누어떨어지지 않는 수는 그대로 내려쓰기
모든 수가 1이 될 때까지 반복

LCM(12, 15, 18) = 2 × 3 × 3 × 2 × 5 = 180

🎯 방법 3: 소인수분해 이용

각 수를 소인수분해한 후, 모든 소인수의 최대 지수를 곱하는 방법이에요.

예제: LCM(20, 30, 45) 구하기

20 = 2² × 5¹

30 = 2¹ × 3¹ × 5¹

45 = 3² × 5¹

각 소인수의 최대 지수

소인수 2: max(2², 2¹, 없음) = 2²

소인수 3: max(없음, 3¹, 3²) = 3²

소인수 5: max(5¹, 5¹, 5¹) = 5¹

LCM(20, 30, 45) = 2² × 3² × 5¹ = 4 × 9 × 5 = 180

🏃‍♂️ 연습 문제

문제 1: LCM(6, 10, 15) = ?

힌트: 단계별 계산이나 동시 나눗셈을 사용해보세요!

답 보기

6 = 2¹ × 3¹

10 = 2¹ × 5¹

15 = 3¹ × 5¹

LCM = 2¹ × 3¹ × 5¹ = 30

문제 2: LCM(8, 12, 16, 20) = ?

힌트: 네 개의 수도 같은 방법으로 구할 수 있어요!

답 보기

8 = 2³, 12 = 2² × 3¹, 16 = 2⁴, 20 = 2² × 5¹

LCM = 2⁴ × 3¹ × 5¹ = 16 × 3 × 5 = 240

💡 여러 수의 최소공배수 구하기 팁

단계별 계산: 수가 적을 때 간단해요
동시 나눗셈: 실수가 적고 체계적이에요
소인수분해: 수가 클 때 정확해요
검산: 구한 LCM이 모든 수의 배수인지 확인하세요!

6. 최대공약수와 최소공배수의 관계

여러분, 이제 최대공약수(GCD)와 최소공배수(LCM) 사이의 특별한 관계를 배워볼까요? 😊

이 둘 사이에는 정말 놀라운 수학적 관계가 숨어있어요! 이 관계를 알면 계산이 훨씬 쉬워진답니다.

🔍 GCD와 LCM 복습

최대공약수 (GCD)

두 수의 공통된 약수 중 가장 큰 수
소인수분해에서 작은 지수 선택
예: GCD(12, 18) = 6

최소공배수 (LCM)

두 수의 공통된 배수 중 가장 작은 수
소인수분해에서 큰 지수 선택
예: LCM(12, 18) = 36

🎯 황금 공식 발견!

a × b = GCD(a, b) × LCM(a, b)

두 수의 곱 = 최대공약수 × 최소공배수

예제로 확인해보기: a = 12, b = 18

왼쪽: a × b = 12 × 18 = 216

GCD(12, 18): 12 = 2² × 3¹, 18 = 2¹ × 3² → GCD = 2¹ × 3¹ = 6

LCM(12, 18): LCM = 2² × 3² = 36

오른쪽: GCD × LCM = 6 × 36 = 216 ✅

🧮 공식 활용하기

이 공식을 이용하면 하나를 알 때 다른 하나를 쉽게 구할 수 있어요!

LCM을 모를 때

LCM(a, b) = (a × b) ÷ GCD(a, b)

GCD를 모를 때

GCD(a, b) = (a × b) ÷ LCM(a, b)

예제: GCD(15, 20) = 5일 때, LCM(15, 20) = ?

공식 사용: LCM = (a × b) ÷ GCD

LCM(15, 20) = (15 × 20) ÷ 5 = 300 ÷ 5 = 60

🔬 왜 이런 관계가 성립할까요?

소인수분해로 이해해봅시다!

일반적인 경우: a = 2^p × 3^q, b = 2^r × 3^s

GCD

2^min(p,r) × 3^min(q,s)

LCM

2^max(p,r) × 3^max(q,s)

확인해보기:

GCD × LCM = 2^min(p,r) × 3^min(q,s) × 2^max(p,r) × 3^max(q,s)

= 2^(min(p,r)+max(p,r)) × 3^(min(q,s)+max(q,s))

= 2^(p+r) × 3^(q+s)

= (2^p × 3^q) × (2^r × 3^s) = a × b ✅

🏃‍♂️ 연습 문제

문제 1: GCD(24, 36) = 12일 때, LCM(24, 36) = ?

답 보기

LCM = (24 × 36) ÷ 12 = 864 ÷ 12 = 72

문제 2: LCM(30, 45) = 90일 때, GCD(30, 45) = ?

답 보기

GCD = (30 × 45) ÷ 90 = 1350 ÷ 90 = 15

문제 3: 두 수의 곱이 420이고 GCD가 7일 때, LCM은?

답 보기

LCM = 420 ÷ 7 = 60

7. 실생활 문제 해결

이제 최소공배수를 실생활에서 어떻게 활용하는지 배워볼까요? 🌟

버스 시간표, 운동 계획, 공장 생산 등 우리 주변에서 최소공배수를 사용하는 경우가 정말 많아요!

🚌 교통 관련 문제

문제 1: 버스 시간표

A 버스는 12분마다, B 버스는 18분마다 정류장에 도착합니다. 오전 9시에 두 버스가 동시에 도착했다면, 다음에 언제 동시에 도착할까요?

해결 과정

LCM(12, 18) 구하기

12 = 2² × 3¹, 18 = 2¹ × 3²
LCM = 2² × 3² = 36분

답: 9시 + 36분 = 9시 36분

확인: A버스는 3번(36÷12), B버스는 2번(36÷18) 운행 후 만남

🏃‍♂️ 운동 관련 문제

문제 2: 달리기 트랙

원형 트랙에서 철수는 4분, 영희는 6분에 한 바퀴를 돕니다. 동시에 출발했을 때, 몇 분 후에 출발점에서 다시 만날까요?

해결 과정

LCM(4, 6) 구하기

4의 배수: 4, 8, 12, 16, ...
6의 배수: 6, 12, 18, ...
LCM = 12분

답: 12분 후

확인: 철수는 3바퀴(12÷4), 영희는 2바퀴(12÷6) 완주

🏭 생산 관련 문제

문제 3: 기계 생산 주기

A 기계는 15개씩, B 기계는 20개씩, C 기계는 25개씩 제품을 생산합니다. 세 기계가 모두 같은 개수를 생산하려면 최소 몇 개를 만들어야 할까요?

해결 과정

LCM(15, 20, 25) 구하기

15 = 3¹ × 5¹
20 = 2² × 5¹
25 = 5²

LCM = 2² × 3¹ × 5² = 4 × 3 × 25 = 300개

확인: A기계 20회(300÷15), B기계 15회(300÷20), C기계 12회(300÷25) 작업

📅 일정 관리 문제

문제 4: 정기 모임

수학 동아리는 3일마다, 과학 동아리는 4일마다, 영어 동아리는 5일마다 모임을 갖습니다. 3월 1일에 세 동아리가 모두 모임을 가졌다면, 다음에 언제 세 모임이 같은 날에 있을까요?

해결 과정

LCM(3, 4, 5) 구하기

3, 4, 5는 서로소이므로
LCM = 3 × 4 × 5 = 60일

답: 3월 1일 + 60일 = 4월 30일

🎯 실생활 문제 해결 전략

문제 파악하기

반복되는 주기 찾기
동시에 일어나는 조건 확인
구하고자 하는 것 명확히 하기

해결 과정

각 주기의 최소공배수 구하기
시작 시점에서 더하기
답이 합리적인지 검증하기

8. 종합 문제

이제 지금까지 배운 내용을 모두 활용해서 다양한 문제를 풀어볼까요? 😊

차근차근 단계별로 접근하면 어떤 문제든 해결할 수 있어요!

🧮 기본 계산 문제

문제 1: LCM(48, 72, 96) = ?

풀이 과정 보기

단계 1: 소인수분해

48 = 2⁴ × 3¹

72 = 2³ × 3²

96 = 2⁵ × 3¹

단계 2: 각 소인수의 최대 지수

2의 최대 지수: max(4, 3, 5) = 5

3의 최대 지수: max(1, 2, 1) = 2

답: LCM = 2⁵ × 3² = 32 × 9 = 288

문제 2: 두 수의 곱이 360이고 LCM이 90일 때, GCD는?

풀이 과정 보기

공식 사용: a × b = GCD × LCM

GCD = (a × b) ÷ LCM = 360 ÷ 90 = 4

답: GCD = 4

🚀 응용 문제

문제 3: 신호등 문제

교차로의 신호등이 빨간불 45초, 노란불 5초, 파란불 40초로 반복됩니다. 다른 교차로는 60초, 10초, 50초로 반복됩니다. 두 교차로가 동시에 빨간불에서 시작했을 때, 몇 초 후에 다시 동시에 빨간불이 될까요?

풀이 과정 보기

단계 1: 각 교차로의 전체 주기

첫 번째: 45 + 5 + 40 = 90초

두 번째: 60 + 10 + 50 = 120초

단계 2: LCM(90, 120) 구하기

90 = 2¹ × 3² × 5¹

120 = 2³ × 3¹ × 5¹

LCM = 2³ × 3² × 5¹ = 360초

답: 360초 = 6분 후

문제 4: 포장 문제

사탕 120개, 초콜릿 180개, 과자 240개를 똑같은 개수로 나누어 선물 세트를 만들려고 합니다. 최대한 많은 선물 세트를 만들 때, 한 세트당 각각 몇 개씩 들어갈까요?

풀이 과정 보기

분석: 이 문제는 GCD 문제입니다!

단계 1: GCD(120, 180, 240) 구하기

120 = 2³ × 3¹ × 5¹

180 = 2² × 3² × 5¹

240 = 2⁴ × 3¹ × 5¹

GCD = 2² × 3¹ × 5¹ = 60

단계 2: 각 세트의 구성

사탕: 120 ÷ 60 = 2개

초콜릿: 180 ÷ 60 = 3개

과자: 240 ÷ 60 = 4개

답: 60세트 (사탕 2개, 초콜릿 3개, 과자 4개씩)

🌟 도전 문제

문제 5: 복합 조건 문제

세 자연수 a, b, c가 있습니다. GCD(a, b) = 12, LCM(a, b) = 144, c = 18일 때, LCM(a, b, c)의 최댓값과 최솟값을 구하세요.

풀이 과정 보기

단계 1: a, b 관계 파악

a × b = GCD × LCM = 12 × 144 = 1728

가능한 (a, b) 쌍: (12, 144), (24, 72), (36, 48)

단계 2: 각 경우의 LCM(a, b, c) 계산

c = 18 = 2¹ × 3²

경우 1: LCM(12, 144, 18) = LCM(144, 18) = 144

경우 2: LCM(24, 72, 18) = LCM(72, 18) = 72

경우 3: LCM(36, 48, 18) = LCM(48, 18) = 144

답: 최댓값 144, 최솟값 72

🎓 학습 완료!

축하합니다! 여러분은 이제 최소공배수의 마스터가 되었어요! 🎉
배수의 개념부터 시작해서 다양한 계산 방법, 실생활 응용까지 모든 것을 배웠습니다. 이제 어떤 최소공배수 문제가 나와도 자신 있게 해결할 수 있을 거예요!

수학교실

학습 팁

📚 최소공배수 완전정복

1. 배수와 공배수란?

📖 배수의 정의

🔢 3의 배수들

🔢 4의 배수들

🔍 공배수 찾기

3의 배수

4의 배수

💡 정리하기

2. 최소공배수의 개념

📚 최소공배수의 정의

🎯 예제 1: LCM(3, 4) 구하기

3의 배수

4의 배수

🎯 예제 2: LCM(6, 8) 구하기

6의 배수

8의 배수

🤔 생각해보기

Q1: LCM(5, 7) = ?

Q2: LCM(4, 12) = ?

3. 최소공배수 구하는 방법

🎯 방법 1: 배수 나열법

예제: LCM(6, 9) 구하기

🎯 방법 2: 공약수 이용법

예제: LCM(12, 18) 구하기

🎯 방법 3: 단계적 나눗셈

예제: LCM(15, 20, 25) 구하기

💡 어떤 방법을 선택할까요?

배수 나열법

공약수 이용법

단계적 나눗셈

4. 소인수분해로 최소공배수 구하기

📚 소인수분해 복습

예시: 12의 소인수분해

예시: 18의 소인수분해

🎯 소인수분해로 LCM 구하는 공식

예제: LCM(12, 18) 구하기

🎯 좀 더 복잡한 예제

예제: LCM(24, 36, 40) 구하기

각 소인수별 최대 지수 찾기

🎯 연습 문제

문제 1: LCM(20, 30) = ?

문제 2: LCM(15, 25, 35) = ?

💡 소인수분해 방법의 장점

5. 세 수 이상의 최소공배수

🎯 방법 1: 단계별 계산

예제: LCM(4, 6, 8) 구하기

🎯 방법 2: 동시 나눗셈

예제: LCM(12, 15, 18) 구하기

🎯 방법 3: 소인수분해 이용

예제: LCM(20, 30, 45) 구하기

각 소인수의 최대 지수

🏃‍♂️ 연습 문제

문제 1: LCM(6, 10, 15) = ?

문제 2: LCM(8, 12, 16, 20) = ?

💡 여러 수의 최소공배수 구하기 팁

6. 최대공약수와 최소공배수의 관계

🔍 GCD와 LCM 복습

최대공약수 (GCD)

최소공배수 (LCM)

🎯 황금 공식 발견!

예제로 확인해보기: a = 12, b = 18

🧮 공식 활용하기

LCM을 모를 때

GCD를 모를 때

예제: GCD(15, 20) = 5일 때, LCM(15, 20) = ?

🔬 왜 이런 관계가 성립할까요?

일반적인 경우: a = 2^p × 3^q, b = 2^r × 3^s

🏃‍♂️ 연습 문제

문제 1: GCD(24, 36) = 12일 때, LCM(24, 36) = ?

문제 2: LCM(30, 45) = 90일 때, GCD(30, 45) = ?

문제 3: 두 수의 곱이 420이고 GCD가 7일 때, LCM은?

7. 실생활 문제 해결

🚌 교통 관련 문제

문제 1: 버스 시간표

해결 과정

🏃‍♂️ 운동 관련 문제

문제 2: 달리기 트랙