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📚 최대공약수 완전정복

1. 약수와 공약수란?

안녕하세요, 여러분! 👋 오늘은 최대공약수에 대해 배워볼 거예요. 먼저 약수가 무엇인지부터 차근차근 알아볼까요?

여러분이 12를 나누어떨어지게 하는 수들을 생각해보세요. 1, 2, 3, 4, 6, 12... 바로 이 수들이 12의 약수랍니다! 🔢

📖 약수의 정의

약수: 어떤 자연수를 나누어떨어지게 하는 자연수
a가 b의 약수 ⟺ b ÷ a = 자연수 (나머지 0)

🔢 12의 약수 찾기

12 ÷ 1 = 12 ✓ → 1은 약수
12 ÷ 2 = 6 ✓ → 2는 약수
12 ÷ 3 = 4 ✓ → 3은 약수
12 ÷ 4 = 3 ✓ → 4는 약수
12 ÷ 5 = 2.4 ✗ → 5는 약수가 아님
12 ÷ 6 = 2 ✓ → 6은 약수
12 ÷ 12 = 1 ✓ → 12는 약수
12의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 12

🔢 18의 약수 찾기

18 ÷ 1 = 18 ✓ → 1은 약수
18 ÷ 2 = 9 ✓ → 2는 약수
18 ÷ 3 = 6 ✓ → 3은 약수
18 ÷ 4 = 4.5 ✗ → 4는 약수가 아님
18 ÷ 6 = 3 ✓ → 6은 약수
18 ÷ 9 = 2 ✓ → 9는 약수
18 ÷ 18 = 1 ✓ → 18은 약수
18의 약수: 1, 2, 3, 6, 9, 18

🔍 공약수 찾기

자, 이제 12의 약수와 18의 약수를 비교해볼까요? 두 수의 약수 목록에서 똑같이 나타나는 약수가 있나요?

12의 약수

1234612

18의 약수

1236918

🎯 공통으로 나타나는 약수: 1, 2, 3, 6

이 수들을 12와 18의 공약수라고 해요!

💡 정리하기

  • 약수: 어떤 수를 나누어떨어지게 하는 수
  • 공약수: 두 수 이상의 공통된 약수
  • 1은 모든 자연수의 약수예요!
  • 가장 큰 공약수가 바로 최대공약수예요! 🌟

2. 최대공약수의 개념

이제 최대공약수(GCD: Greatest Common Divisor)가 무엇인지 알아볼까요? 😊

앞에서 12와 18의 공약수가 1, 2, 3, 6이라고 했죠? 이 중에서 가장 큰 수가 바로 최대공약수예요!

📚 최대공약수의 정의

최대공약수 (GCD)

두 개 이상의 자연수의 공약수 중에서 가장 큰 수

GCD(a, b) = a와 b의 최대공약수

🎯 예제 1: GCD(12, 18) 구하기

12의 약수

1234612

18의 약수

1236918
공약수: 1, 2, 3, 6
GCD(12, 18) = 6

6이 공약수 중에서 가장 큰 수!

🎯 예제 2: GCD(20, 30) 구하기

20의 약수

12451020

30의 약수

12356101530
공약수: 1, 2, 5, 10
GCD(20, 30) = 10

🤔 특별한 경우들

경우 1: 한 수가 다른 수의 약수인 경우

예: GCD(6, 18) = ?
6의 약수: 1, 2, 3, 6
18의 약수: 1, 2, 3, 6, 9, 18
GCD(6, 18) = 6

작은 수가 큰 수의 약수면, 작은 수가 최대공약수!

경우 2: 서로소인 경우

예: GCD(7, 10) = ?
7의 약수: 1, 7
10의 약수: 1, 2, 5, 10
GCD(7, 10) = 1

공약수가 1뿐인 두 수를 서로소라고 해요!

3. 최대공약수 구하는 방법

이제 최대공약수를 구하는 여러 가지 방법을 배워볼까요? 😊

약수를 나열하는 방법 말고도 더 효율적인 방법들이 있어요. 차근차근 알아봅시다!

🎯 방법 1: 약수 나열법

가장 기본적인 방법이에요. 각 수의 약수를 나열해서 공통된 가장 큰 수를 찾아요.

예제: GCD(24, 36) 구하기

1
24의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
2
36의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
3
공약수: 1, 2, 3, 4, 6, 12 → GCD(24, 36) = 12

🎯 방법 2: 공약수로 나누기

두 수를 공약수로 계속 나누어가며 최대공약수를 구하는 방법이에요.

예제: GCD(48, 72) 구하기

나누는 수
48
72
2
24
36
2
12
18
2
6
9
3
2
3
2
3
1
두 수를 공약수 2로 나누어요
2
또 2로 나누어요
3
또 2로 나누어요
4
공약수 3으로 나누어요
5
GCD = 2 × 2 × 2 × 3 = 24

🎯 방법 3: 단계적 나눗셈 (깔끔한 방법)

가장 체계적이고 정확한 방법이에요!

예제: GCD(60, 84) 구하기

나누는 수6084
23042
21521
357
57
설명: 두 수 모두 나누어떨어지는 수로만 나누어요. 더 이상 공약수가 없을 때까지 반복합니다.
GCD(60, 84) = 2 × 2 × 3 = 12

💡 어떤 방법을 선택할까요?

약수 나열법

  • 수가 작을 때 유용
  • 직관적으로 이해하기 쉬움
  • 두 수만 비교할 때 좋음

공약수로 나누기

  • 중간 크기의 수에 적합
  • 계산이 체계적
  • 실수할 확률이 낮음

단계적 나눗셈

  • 세 수 이상일 때 필수
  • 큰 수에도 효과적
  • 가장 체계적인 방법

4. 소인수분해로 최대공약수 구하기

이제 소인수분해를 이용해서 최대공약수를 구하는 방법을 배워볼까요? 🧮

이 방법은 수학적으로 가장 정확하고 체계적한 방법이에요. 복잡해 보이지만 원리를 이해하면 매우 쉬워져요!

📚 소인수분해 복습

소인수분해란 어떤 수를 소수들의 곱으로 나타내는 것이에요.

예시: 60의 소인수분해

60 = 2² × 3¹ × 5¹
60 = 2 × 2 × 3 × 5

예시: 84의 소인수분해

84 = 2² × 3¹ × 7¹
84 = 2 × 2 × 3 × 7

🎯 소인수분해로 GCD 구하는 공식

GCD 구하는 방법

공통 소인수에 대해 가장 작은 지수를 선택해서 곱하기

예제: GCD(60, 84) 구하기

1
소인수분해: 60 = 2² × 3¹ × 5¹, 84 = 2² × 3¹ × 7¹
2
공통 소인수: 2, 3 (5와 7은 공통이 아님)
3
소인수 2: min(2², 2²) = 2² (작은 지수 선택)
4
소인수 3: min(3¹, 3¹) = 3¹ (작은 지수 선택)
5
GCD(60, 84) = 2² × 3¹ = 4 × 3 = 12

🎯 좀 더 복잡한 예제

예제: GCD(108, 144, 180) 구하기

108 소인수분해
108 = 2² × 3³
144 소인수분해
144 = 2⁴ × 3²
180 소인수분해
180 = 2² × 3² × 5¹
각 소인수별 최소 지수 찾기
소인수 2: min(2², 2⁴, 2²) = 2²
소인수 3: min(3³, 3², 3²) = 3²
소인수 5: min(없음, 없음, 5¹) = 없음 (공통이 아님)
GCD(108, 144, 180) = 2² × 3² = 4 × 9 = 36

🎯 연습 문제

문제 1: GCD(72, 96) = ?

72 = 2³ × 3²
96 = 2⁵ × 3¹
답: 2³ × 3¹ = 8 × 3 = 24

문제 2: GCD(45, 75, 90) = ?

45 = 3² × 5¹
75 = 3¹ × 5²
90 = 2¹ × 3² × 5¹
답: 3¹ × 5¹ = 3 × 5 = 15

💡 소인수분해 방법의 장점

  • 정확성: 실수할 가능성이 매우 낮아요
  • 효율성: 큰 수나 여러 수의 GCD를 쉽게 구할 수 있어요
  • 체계성: 단계별로 논리적으로 접근할 수 있어요
  • 응용성: 최소공배수(LCM)도 같은 방법으로 구할 수 있어요

5. 유클리드 호제법

이제 유클리드 호제법이라는 특별한 방법을 배워볼까요? 🚀

이 방법은 고대 그리스의 수학자 유클리드가 개발한 방법으로, 아주 큰 수의 최대공약수도 빠르게 구할 수 있어요!

📚 유클리드 호제법의 원리

핵심 아이디어

GCD(a, b) = GCD(b, a를 b로 나눈 나머지)

나머지가 0이 될 때까지 반복하면, 그때의 나누는 수가 최대공약수!

🎯 기본 예제: GCD(48, 18) 구하기

1
48 ÷ 18 = 2 … 12
GCD(48, 18) = GCD(18, 12)
2
18 ÷ 12 = 1 … 6
GCD(18, 12) = GCD(12, 6)
3
12 ÷ 6 = 2 … 0
나머지가 0이므로 끝!
GCD(48, 18) = 6

🎯 좀 더 큰 수: GCD(1071, 462) 구하기

이런 큰 수도 유클리드 호제법으로 쉽게 구할 수 있어요!
1
1071 ÷ 462 = 2 … 147
2
462 ÷ 147 = 3 … 21
3
147 ÷ 21 = 7 … 0
GCD(1071, 462) = GCD(462, 147)
GCD(462, 147) = GCD(147, 21)
GCD(147, 21) = 21
GCD(1071, 462) = 21

🎯 단계별 정리 표

예제: GCD(84, 36) 구하기

단계나누기몫나머지
184 ÷ 36212
236 ÷ 1230
GCD(84, 36) = 12

나머지가 0이 된 순간의 나누는 수가 답!

🏃‍♂️ 연습 문제

문제 1: GCD(91, 35) = ?

답 보기
91 ÷ 35 = 2 … 21
35 ÷ 21 = 1 … 14
21 ÷ 14 = 1 … 7
14 ÷ 7 = 2 … 0
GCD(91, 35) = 7

문제 2: GCD(143, 65) = ?

답 보기
143 ÷ 65 = 2 … 13
65 ÷ 13 = 5 … 0
GCD(143, 65) = 13

💡 유클리드 호제법의 장점

  • 속도: 아주 큰 수도 빠르게 계산할 수 있어요
  • 정확성: 소인수분해가 어려운 수도 정확히 구해요
  • 효율성: 계산 단계가 적어서 실수가 적어요
  • 범용성: 어떤 크기의 수든 적용할 수 있어요

6. 세 수 이상의 최대공약수

이제 세 개 이상의 수의 최대공약수를 구하는 방법을 배워볼까요? 😊

두 수의 최대공약수를 구할 수 있다면, 세 수 이상도 충분히 할 수 있어요! 차근차근 알아봅시다.

🎯 방법 1: 단계별 계산

먼저 두 수의 GCD를 구하고, 그 결과와 세 번째 수의 GCD를 구하는 방법이에요.

예제: GCD(24, 36, 48) 구하기

1
GCD(24, 36) 먼저 구하기
24의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
36의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
→ GCD(24, 36) = 12
2
GCD(12, 48) 구하기
12의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 12
48의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
→ GCD(12, 48) = 12
GCD(24, 36, 48) = 12

🎯 방법 2: 동시 나눗셈

모든 수를 공약수로 동시에 나누어가는 방법이에요. 가장 효율적이죠!

예제: GCD(60, 90, 120) 구하기

나누는 수6090120
2304560
3101520
5234
234
설명:
  • 세 수 모두 나누어떨어지는 수로만 나누기
  • 하나라도 나누어떨어지지 않으면 그 소수는 사용하지 않기
  • 더 이상 공약수가 없을 때까지 반복
GCD(60, 90, 120) = 2 × 3 × 5 = 30

🎯 방법 3: 소인수분해 이용

각 수를 소인수분해한 후, 모든 소인수의 최소 지수를 곱하는 방법이에요.

예제: GCD(72, 108, 144) 구하기

72
72 = 2³ × 3²
108
108 = 2² × 3³
144
144 = 2⁴ × 3²
각 소인수의 최소 지수
소인수 2: min(2³, 2², 2⁴) = 2²
소인수 3: min(3², 3³, 3²) = 3²
GCD(72, 108, 144) = 2² × 3² = 4 × 9 = 36

🏃‍♂️ 연습 문제

문제 1: GCD(45, 75, 105) = ?

힌트: 단계별 계산이나 동시 나눗셈을 사용해보세요!
답 보기
45 = 3² × 5¹
75 = 3¹ × 5²
105 = 3¹ × 5¹ × 7¹
GCD = 3¹ × 5¹ = 15

문제 2: GCD(84, 126, 168) = ?

힌트: 소인수분해를 이용하면 쉬워요!
답 보기
84 = 2² × 3¹ × 7¹
126 = 2¹ × 3² × 7¹
168 = 2³ × 3¹ × 7¹
GCD = 2¹ × 3¹ × 7¹ = 42

💡 여러 수의 최대공약수 구하기 팁

  • 단계별 계산: 수가 적을 때 간단해요
  • 동시 나눗셈: 실수가 적고 체계적이에요
  • 소인수분해: 수가 클 때 정확해요
  • 검산: 구한 GCD가 모든 수의 약수인지 확인하세요!

7. 서로소와 특별한 경우들

이제 서로소라는 특별한 관계와 최대공약수의 특별한 경우들을 배워볼까요? 🌟

서로소는 수학에서 매우 중요한 개념이에요. 실생활에서도 많이 사용되는 개념이랍니다!

📚 서로소의 정의

서로소 (Relatively Prime)

두 수의 최대공약수가 1인 경우

GCD(a, b) = 1 ⟺ a와 b는 서로소

🎯 서로소의 예시들

✅ 서로소인 경우

GCD(7, 10)= 1
GCD(9, 16)= 1
GCD(15, 28)= 1
GCD(21, 25)= 1

❌ 서로소가 아닌 경우

GCD(6, 9)= 3
GCD(12, 18)= 6
GCD(14, 21)= 7
GCD(20, 30)= 10

🔍 서로소 판별법

방법 1: 소인수분해 이용

예: 35와 48이 서로소인지 확인
35 = 5¹ × 7¹
48 = 2⁴ × 3¹
공통 소인수가 없음 → 서로소!

방법 2: 유클리드 호제법 이용

예: 91과 65가 서로소인지 확인
91 ÷ 65 = 1 … 26
65 ÷ 26 = 2 … 13
26 ÷ 13 = 2 … 0
GCD(91, 65) = 13 ≠ 1 → 서로소가 아님!

🌟 특별한 성질들

성질 1: 연속된 두 자연수

연속된 두 자연수는 항상 서로소예요!

GCD(n, n+1) = 1 (n은 자연수)
예: GCD(5, 6) = 1, GCD(17, 18) = 1, GCD(99, 100) = 1

성질 2: 소수와 다른 수

소수 p와 다른 수 a가 있을 때, a가 p의 배수가 아니면 서로소예요!

예: 7과 10, 11과 15, 13과 20 등

성질 3: 1과 모든 자연수

1은 모든 자연수와 서로소예요!

GCD(1, n) = 1 (n은 모든 자연수)

🎯 최대공약수의 특별한 경우들

경우 1: 한 수가 다른 수의 약수

작은 수가 큰 수의 약수이면, 작은 수가 최대공약수
GCD(12, 36) = 12
GCD(7, 21) = 7
GCD(5, 45) = 5

경우 2: 같은 수

같은 수의 최대공약수는 자기 자신
GCD(15, 15) = 15
GCD(23, 23) = 23
GCD(100, 100) = 100

🏃‍♂️ 연습 문제

문제 1: 다음 중 서로소인 것을 모두 찾으세요

(1) 8과 15 (2) 12와 16 (3) 21과 35 (4) 17과 51
답 보기
(1) GCD(8, 15) = 1 → 서로소 ✓
(2) GCD(12, 16) = 4 → 서로소 아님
(3) GCD(21, 35) = 7 → 서로소 아님
(4) GCD(17, 51) = 17 → 서로소 아님
답: (1)번만 서로소

문제 2: 100 이하의 자연수 중 60과 서로소인 수는 몇 개일까요?

힌트: 60 = 2² × 3¹ × 5¹ 이므로, 2, 3, 5의 배수가 아닌 수를 찾으세요!
답 보기
60과 서로소 ⟺ 2, 3, 5의 배수가 아님
예: 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 77, 79, 83, 89, 91, 97
이런 방식으로 계산하면 26개입니다

8. 실생활 문제 해결

이제 최대공약수를 실생활에서 어떻게 활용하는지 배워볼까요? 🌟

물건 나누기, 시간표 만들기, 정리정돈 등 우리 주변에서 최대공약수를 사용하는 경우가 정말 많아요!

🎁 나누기 문제

문제 1: 선물 포장하기

사탕 48개, 초콜릿 72개, 과자 96개를 똑같은 개수로 나누어 선물 봉지를 만들려고 합니다. 최대한 많은 봉지를 만들 때, 몇 개의 봉지를 만들 수 있고, 각 봉지에는 몇 개씩 들어갈까요?

해결 과정
1
GCD(48, 72, 96) 구하기
2
48 = 2⁴ × 3¹
72 = 2³ × 3²
96 = 2⁵ × 3¹
3
GCD = 2³ × 3¹ = 8 × 3 = 24개 봉지
4
각 봉지에: 사탕 2개(48÷24), 초콜릿 3개(72÷24), 과자 4개(96÷24)
답: 24개의 봉지, 각 봉지마다 사탕 2개, 초콜릿 3개, 과자 4개

📐 배치 문제

문제 2: 정사각형 타일 배치

가로 84cm, 세로 60cm인 직사각형 바닥에 정사각형 타일을 빈틈없이 깔려고 합니다. 사용할 수 있는 가장 큰 정사각형 타일의 한 변의 길이는 몇 cm일까요?

해결 과정
1
GCD(84, 60) 구하기
2
유클리드 호제법 사용:
84 ÷ 60 = 1 … 24
60 ÷ 24 = 2 … 12
24 ÷ 12 = 2 … 0
3
GCD(84, 60) = 12cm
4
확인: 가로로 7개(84÷12), 세로로 5개(60÷12) 배치 가능
답: 12cm × 12cm 정사각형 타일, 총 35개 필요

👥 그룹 나누기 문제

문제 3: 체육 수업 조 편성

남학생 30명, 여학생 42명을 각각 똑같은 수의 조로 나누되, 각 조의 인원수가 남녀 모두 같게 하려고 합니다. 한 조당 최대 몇 명까지 가능할까요?

해결 과정
1
GCD(30, 42) 구하기
2
30 = 2¹ × 3¹ × 5¹
42 = 2¹ × 3¹ × 7¹
3
GCD = 2¹ × 3¹ = 6명
4
결과: 남학생 5조(30÷6), 여학생 7조(42÷6), 각 조당 6명
답: 한 조당 최대 6명 (남학생 5조, 여학생 7조)

🕐 시간 관련 문제

문제 4: 경보 시스템

A 경보는 36분마다, B 경보는 48분마다, C 경보는 60분마다 울립니다. 세 경보가 모두 동시에 울릴 때, 각 경보를 몇 번씩 울린 후일까요?

해결 과정
이 문제는 최소공배수(LCM) 문제이지만, 각 경보의 횟수를 구하려면 GCD도 활용해야 해요!
1
LCM(36, 48, 60) 먼저 구하기
2
36 = 2² × 3²
48 = 2⁴ × 3¹
60 = 2² × 3¹ × 5¹
3
LCM = 2⁴ × 3² × 5¹ = 720분
4
A: 720÷36 = 20번, B: 720÷48 = 15번, C: 720÷60 = 12번
답: 720분(12시간) 후, A경보 20번, B경보 15번, C경보 12번

🎯 실생활 문제 해결 전략

문제 파악하기

  • "똑같이 나누어" → GCD 문제
  • "최대한 많이" → GCD 구하기
  • "빈틈없이 배치" → GCD 활용
  • 개수, 길이, 시간 등을 파악

해결 과정

  • 주어진 수들의 GCD 구하기
  • 각 수를 GCD로 나누기
  • 실제 상황에 맞는지 검증
  • 답이 합리적인지 확인

9. 종합 문제

이제 지금까지 배운 내용을 모두 활용해서 다양한 문제를 풀어볼까요? 😊

차근차근 단계별로 접근하면 어떤 문제든 해결할 수 있어요!

🧮 기본 계산 문제

문제 1: GCD(168, 252, 336) = ?

풀이 과정 보기
단계 1: 소인수분해
168 = 2³ × 3¹ × 7¹
252 = 2² × 3² × 7¹
336 = 2⁴ × 3¹ × 7¹
단계 2: 각 소인수의 최소 지수
2의 최소 지수: min(3, 2, 4) = 2
3의 최소 지수: min(1, 2, 1) = 1
7의 최소 지수: min(1, 1, 1) = 1
답: GCD = 2² × 3¹ × 7¹ = 4 × 3 × 7 = 84

문제 2: 유클리드 호제법으로 GCD(1295, 595) = ?

풀이 과정 보기
1295 ÷ 595 = 2 … 105
595 ÷ 105 = 5 … 70
105 ÷ 70 = 1 … 35
70 ÷ 35 = 2 … 0
답: GCD(1295, 595) = 35

🚀 응용 문제

문제 3: 직사각형 분할 문제

가로 120cm, 세로 80cm인 직사각형을 정사각형으로 나누려고 합니다. 몇 개의 정사각형으로 나눌 수 있고, 각 정사각형의 한 변은 몇 cm일까요?

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단계 1: GCD(120, 80) 구하기
120 = 2³ × 3¹ × 5¹
80 = 2⁴ × 5¹
GCD = 2³ × 5¹ = 40cm
단계 2: 정사각형 개수 계산
가로: 120 ÷ 40 = 3개
세로: 80 ÷ 40 = 2개
총 개수: 3 × 2 = 6개
답: 40cm × 40cm 정사각형 6개

문제 4: 복합 조건 문제

어떤 두 자연수 a, b가 있습니다. a + b = 60이고 GCD(a, b) = 12일 때, 가능한 (a, b) 쌍을 모두 구하세요.

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단계 1: GCD(a, b) = 12이므로 a = 12m, b = 12n (m, n은 서로소)
단계 2: a + b = 60에 대입
12m + 12n = 60
m + n = 5
단계 3: m, n이 서로소이고 m + n = 5인 경우
(m, n) = (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)
단계 4: 서로소 조건 확인
GCD(1, 4) = 1 ✓, GCD(2, 3) = 1 ✓
GCD(3, 2) = 1 ✓, GCD(4, 1) = 1 ✓
답: (12, 48), (24, 36), (36, 24), (48, 12)

🌟 도전 문제

문제 5: 창의적 사고 문제

1부터 100까지의 자연수 중에서 72와 서로소인 수의 개수를 구하세요. (힌트: 72 = 2³ × 3² 이므로 포함-배제 원리를 사용하세요!)

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분석: 72 = 2³ × 3²이므로 2나 3의 배수가 아닌 수
단계 1: 전체 수 = 100개
단계 2: 2의 배수 = 50개
단계 3: 3의 배수 = 33개
단계 4: 6의 배수(2와 3 공통) = 16개
단계 5: 포함-배제 원리 적용
2나 3의 배수 = 50 + 33 - 16 = 67개
답: 72와 서로소인 수 = 100 - 67 = 33개

🎓 학습 완료!

축하합니다! 여러분은 이제 최대공약수의 전문가가 되었어요! 🎉
약수의 개념부터 시작해서 다양한 계산 방법, 서로소, 실생활 응용까지 모든 것을 배웠습니다. 이제 어떤 최대공약수 문제가 나와도 자신 있게 해결할 수 있을 거예요!

📝 핵심 정리

계산 방법

  • 약수 나열법 (작은 수)
  • 공약수로 나누기 (중간 수)
  • 소인수분해법 (큰 수)
  • 유클리드 호제법 (매우 큰 수)

중요 개념

  • GCD = 공통 소인수의 최소 지수
  • 서로소 ⟺ GCD = 1
  • 연속된 두 수는 항상 서로소
  • 실생활: "똑같이 나누어" → GCD